2.3.4. Симплекс-метод

Если задача содержит более двух неизвестных, графическое построение в координатной сетке невозможно. В таком случае математической моделью для анализа данных и построения оптимального плана является симплекс-метод. Поскольку этот метод универсальный, его использование иллюстрируется на том же примере, что и в предыдущем случае.

Условия задачи представляются теми же неравенствами (2.27) – (2.32).

При использовании симплекс-метода требуется неравенства (2.28) – (2.31) превратить в равенства. Поскольку неизвестно, насколько левая часть меньше правой, прибавляем к левой части неизвестные величины Х₃, Х₄, Х₅ и Х₆:

Затем в каждом равенстве записываем все неизвестные от Х₁ до Х₆ и меняем местами левую и правую части:

300=2Х₁+5Х₂+1Х₃+0Х₄+0Х₅+0Х₆, (2.40)

360=3Х₁+4Х₂+0Х₃+1Х₄+0Х₅+0Х₆, (2.41)

150=0Х₁+3Х₂+0Х₃+0Х₄+1Х₅+0Х₆, (2.42)

600=4Х₁+5Х₂+0Х₃+0Х₄+0Х₅+1Х₆, (2.43)

F=3Х₁+10Х₂+0Х₃+0Х₄+0Х₅+0Х₆. (2.44)

Коэффициенты при неизвестных в равенствах (2.40) – (2.44) позволяют построить первоначальную симплексную таблицу (табл. 2.9). В нижней строке вместо F надо поставить 0, а коэффициенты при неизвестных записать с обратным знаком.

Таблица 2.9

Исходная симплексная таблица

		Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х3	300	2	5	1	0	0	0	300:5=60
Х4	360	3	4	0	1	0	0	360:4=90
Х5	150	0	3	0	0	1	0	150:3=50
Х6	600	4	5	0	0	0	1	600:5=120
	0	-3	-10	0	0	0	0

В симплексной таблице два левых столбца представляют собой некоторый возможный вариант решения задачи. Так, в табл. 2.9 это решение: Х₃=300; Х₄=360, Х₅=150; Х₆=600. В левой клетке нижней целевой строки значение прибыли для этого плана выпуска продукции: F=0.

План в двух левых столбцах не является оптимальным, пока в целевой строке есть отрицательные оценки (в табл. 2.9 это «-3» и «-10»).

Для изменения плана определяют «ключевой столбец» по максимальному модулю отрицательной оценки. Так как |10|>|3|, ключевым будет столбец Х₂. Это означает, что для улучшения плана выпуска продукции в него надо включить продукцию, соответствующую столбцу Х₂.

Чтобы высвободить ресурсы для изготовления этой продукции, следует исключить из плана (табл. 2.9) один из видов товара.

Исключаемой продукции соответствует ключевая строка. Для её определения числа во втором столбце делятся на элементы ключевого столбца, и ключевая строка выбирается по наименьшему частному. В табл. 2.9 это строка Х₅, так как в правом столбце этой таблицы 50<60, 90,120.

В новой преобразованной табл. 2.10 (первая итерация) в левом столбце Х₅ заменяется на Х₂. Преобразование чисел в таблице начинается с ключевой строки. Для этого все элементы ключевой строки (табл. 2.9) делятся на ключевой элемент «3», находящийся на пересечении ключевой строки и ключевого столбца. Полученные значения записывают в новую табл. 2.10 в строку «Х₂». Все остальные клетки таблицы преобразуются по одному общему правилу (2.45).

НЗ = СЗ – (А * В), (2.45)

где НЗ – новое значение элемента;

СЗ – старое значение элемента;

А – элемент на пересечении данной строки и ключевого столбца в старой таблице;

В – элемент на пересечении данного столбца и ключевой строки в новой таблице.

Таблица 2.10

Первая итерация

Х3	50	2	0	1	0	-5/3	0	50:2=25
Х4	160	3	0	0	1	-4/3	0	160:3=53 1/3
Х2	50	0	1	0	0	1/3	0
Х6	350	4	0	0	0	-5/3	1	350:4=87,5
	500	-3	0	0	0	10/3	0

Так, во втором слева столбце в верхней клетке в табл. 2.10 будет записано: 300-(5х50)=50.

В новой табл. 2.10 в целевой строке еще есть отрицательная оценка (-3), т.е. оптимальное решение еще не получено. Табл. 2.10 опять следует преобразовать точно так же, как и табл. 2.9. И такое преобразование производится до тех пор, пока в целевой строке исчезнут отрицательные оценки, что свидетельствует о получении оптимального плана. В приведенной задаче оптимальный план получен уже после второго преобразования в табл. 2.11.

Таким образом, задача будет иметь следующее решение:

Х₁=25; Х₄=85; Х₂=50; Х₆=250, а так как Х₄ и Х₆ – некая фиктивная продукция, то оптимальным планом является выработка 25 единиц товара «n» (X₁=25) и 50 единиц товара «m» (Х₂=50), прибыль при этом составит F=575 д. е.

Х₄=85 и Х₆=250 означает, что при таком плане останутся неиспользованными ресурсы: «d» – 85 единиц, «e» – 250 единиц.

Таблица 2.11

Оптимальный план

Х1	25	1	0	1/2	0	-5/6	0
Х4	85	0	0	-3/2	1	7/6	0
Х2	50	0	1	0	0	1/3	0
Х6	250	0	0	-2	0	10/6	1
	575	0	0	3/2	0	5/6	0