Глава 1.

1.1.Общие геометрические уровни развития.

Формирование самых элементарных геометрических представлений у учащихся является одной из основных задач геометрии в младшей школе. Логично предположить, что изучение наглядной геометрии в младших классах будет целесообразнее, так как мышление у детей данного возраста является наглядно-образным. Исходя из этого, в основе изучения любого геометрического материала должна лежать максимально конкретная, практическая деятельность ученика, связанная с различными геометрическими объектами. Объем материала должен быть минимальным и нарастать лишь на завершающем этапе.

В программе традиционной начальной школы геометрический материал является составной частью курса математики. Он не выделяется как самостоятельный раздел, а лишь включается в программу каждого нового года обучения. Но, к сожалению, изучается данный материал, в основном, на уровне знания-знакомства. Никакие правила и определения не заучиваются, ученики практически различают геометрические фигуры, сравнивают их, изображают на бумаге, а многие геометрические понятия, такие как, например, кривая линия, тупой и острый углы, различные виды треугольников и вовсе исключены из традиционных учебников.

Основной целью учителя является именно подача начальных геометрических знаний и представлений, развитие логического мышления и пространственного воображения детей, формирование умения узнавать геометрические фигуры и их части, собирать тот или иной объект из заданных частей или делить его на составные части, уметь изображать различные фигуры на чертеже. Расширение геометрических представлений и знаний используется для формирования у учащихся элементов технического мышления и конструкторских умений; побуждает к поиску нестандартных математических задач.

Изложение геометрического материала проводится в наглядно-практическом плане. Работая с геометрическим материалом дети знакомятся и используют основные свойства изучаемых фигур. Задания, как правило, располагаются в порядке их усложнения и постепенного обогащения новыми элементами конструкторского характера.

Как уже было отмечено ранее, вопросом формирования геометрических представлений занимались многие ученые. По мнению Л.С. Выготского, эффективным средством ускорения процесса формирования у детей геометрических представлений и включения их в мыслительную деятельность, является активизация пространственного воображения учащихся через специально построенное обучение. А важным условием успешности подобного обучения являются оптимальные сроки его проведения.

В.А. Гусев предложил формировать представления о геометрической фигуре, согласно специальной схеме, которая состоит из пяти этапов. Уже на втором этапе предполагается формирование первоначальных обобщенных образов геометрических объектов при нахождении изучаемых объектов, на этом этапе дальнейшее развитие пока невозможно без обобщения и систематизации знаний об объекте [63-66 стр].

A.M. Пышкало выделил пять уровней геометрического развития, и на их основе предложил выявлять уровни сформированности геометрического материала. По его мнению, у младших школьников могут развиваться только первый и второй уровень, редко третий. Но при этом, развитие уровней сформированности геометрических представлений не зависит от возрастного развития ребёнка, а лишь от его индивидуальных особенностей, качества и содержания обучения. Переход к третьему уровню невозможен без хорошо сформированной системы знаний о геометрических фигурах, умения выделять свойства фигур[34 стр].

Именно система знаний о геометрических фигурах, развития умения выделять свойства фигур, сравнивать их, лежит в основе программ по математике Н.Б. Истоминой - «Гармония» и в системе Л.В. Занкова.

Проблемы обучения математике в школе никогда еще не привлекали к себе такого внимания, как в наши дни. В настоящее время ведутся интенсивные поиски путей совершенствования школьного обучения, такого изменения школьного курса математики, которое позволило бы приблизить его к современному уровню развития математической науки.

Для определения подходящих путей изменения содержания и методики изучения геометрического материала младшими школьниками необходимо знать, как именно происходит процесс усвоения знаний, какими особенностями он характеризуется на каждом этапе обучения.

Можно выделить 5 уровней мышления в области геометрии, которые условно называются «уровнями геометрического развития».

Каждому такому уровню соответствует свой язык, содержащий определенную геометрическую и логическую терминологию, свой набор символов, своя глубина логической обработки изучаемого геометрического материала. Переход от одного уровня к другому связан с изменениями языка, символики и глубины логической обработки геометрических объектов. Переход от одного уровня к другому не является процессом самопроизвольным, идущим одновременно с биологическим развитием человека и зависящим лишь от его возраста. Этот переход протекает под влиянием целенаправленного обучения, а потому зависит от содержания и методов обучения. Их изменение может содействовать ускорению перехода к следующему, более высокому уровню или тормозить этот переход.

Самый первый, исходный, уровень характеризуется тем, что геометрическая фигура рассматривается как «единое целое». На данном уровне, при восприятии фигуры ученики еще не выделяют ее элементов, не воспринимают отношений между этими элементами фигуры и фигурами. Они не умеют даже близкие фигуры сравнивать между собой. Все фигуры различаются только по своему внешнему виду. Ученик, мыслящий на первом уровне, может легко научиться узнавать такие фигуры, как прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, хорошо запоминает их названия, но не видит общих признаков в этих фигурах, не видит в квадрате ромба, в ромбе- параллелограмма и т.д. Для ученика каждая из этих фигур существенно индивидуальна.

Учащиеся, достигшие второго уровня, умеют устанавливать отношения между элементами фигур или самими фигурами. Они выполняют анализ воспринимаемых фигур. Свойства фигур выясняются только экспериментальным путем. Усвоение свойств фигур происходит в процессе наблюдений, измерений, вычерчивания, моделирования (например, вырезания из бумаги). Эти свойства используются при узнавании фигур. Но свойства не выводятся и логически не упорядочены. Учащиеся еще не понимают структуры логического исследования. На этом уровне фигуры выступают носителями своих свойств и распознаются учащимися по этим свойствам. Но эти свойства еще не связываются друг с другом. Например, учащиеся довольно быстро замечают, что и у прямоугольника, и у параллелограмма общего вида противоположные стороны попарно равны между собой, но учащиеся еще не приходят к выводу, что прямоугольник есть параллелограмм.

Учащиеся, достигшие третьего уровня геометрического развития, уже умеют устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами, На третьем уровне происходит логическое упорядочение свойств. Уясняется возможность следования одного свойства из другого. Логические связи между свойствами устанавливаются с помощью определений. Но порядок логического следования дается учителем или учебником, и сам ученик не видит еще возможностей изменить этот порядок. На этом уровне начинают понимать, что дедукция позволяет устанавливать свойства фигур более экономно и обще, чем с помощью эксперимента: выяснив экспериментально одни свойства фигуры, путем логического рассуждения - вывода можно получить другие свойства, На этом уровне квадрат уже считается прямоугольником.

Учащиеся, достигшие четвертого уровня, осознают знание дедукции в целом как способе построения всей геометрической теории, Переходу на этот уровень способствует усвоение (понимание) роли и сущности аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, анализа логических связей понятий и предложений. Учащиеся на этом уровне легко видят различные возможности развития теории, исходя из различных посылок, и могут использовать дедуктивные построения не только в области изучения свойств одной какой-нибудь фигуры.

Пятый уровень мышления в области геометрии соответствует современному (Гильбертовскому) эталону строгости. На этом уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий на этом уровне, развивает теорию вне всякой конкретной интерпретации. Геометрия здесь приобретает общий характер и более широкие применения, когда, например, точками служат некоторые объекты, явления или состояния, фигурами - любые совокупности таких точек и т.д.

Переход от одного уровня к другому не является процессом самопроизвольным. Он осуществляется постепенно и последовательно. При этом элементы более высокого уровня зарождаются «внутри» предшествующего, появляются до того, как осуществлен переход к этому новому уровню. Причем после этого перехода мы часто возвращаемся к более низкому уровню с целью обеспечения лучшего понимания изучаемых на новом уровне вопросов.

Таким образом, мы можем утверждать, что в настоящее время уже на практике в учебный процесс внедряются новые программы по математике, которые предполагают в той или иной степени эффективное изучение геометрического материала. Но при этом, отсутствие в остальных программах по математике для начальной школы содержательного геометрического материала и эффективных средств его преподавания, отвечающих потребностям развития детей этого возраста, приводит к тому, что к началу пятого класса учащиеся не имеют системы геометрических знаний, а некоторые учащиеся могут лишь решить простейшие задачи на распознавание многоугольников, начертить на клеточной бумаге прямоугольник и квадрат с заданными сторонами и измерить длину отрезка. Уровень сформированности геометрических представлений и созданная в период обучения в начальной школе система представлений влияет на общий уровень развития ребёнка и эффективность его обучения в последующем звене школы.

Мы считаем, что в разрешении этой проблемы учителям поможет использование практических методов в процессе формирования и систематизации элементарных геометрических представлений у младших школьников, так как их специфика заключается в том, что в основе лежит развитие умений самостоятельно конструировать знания. Практические методы позволят учителю создать такие условия, при которых учащиеся смогут самостоятельно не только осваивать новые знания, но и успешно применять их на практике. При этом основной упор делается на творческое развитие личности. А главное, что в основе практических методов лежит максимально конкретная практическая деятельность учащихся с объектами и фигурами, что также является основой для формирования геометрических представлений.