2. Конические поверхности

П усть в пространстве дана какая-либо линия L и точка S₀ вне ее. Через S₀ и какую-нибудь точку M линии L проведём прямую a (рис. 12.4).

Если точку M перемещать по линии L, то прямая a, проходящая через точку S₀ и переменную точку M линии L, перемещаясь в пространстве, опишет поверхность, которая называется конической поверхностью или просто конусом. Точка S₀ называется вершиной конуса; прямая a, проходящая через вершину S₀ и пересекающая линию L, называется образующей конуса, а линия L – направляющей конуса.

Конус вращения

Рассмотрим прямую

z = , (12.2)

лежащую в плоскости Оxz. При вращении её вокруг оси Оz образуется поверхность, называемая конусом вращения (рис. 12.5).

Уравнение конуса вращения получится из уравнения (12.2), если в нём заменить переменную x выражением : z = .

После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения мы получим уравнение конуса вращения в виде

. (12.3)

В сечении конуса (12.3) плоскостью z = h получается окружность, уравнение которой имеет вид

(12.4)

которую можно рассматривать как направляющую конуса вращения.

Если вместо окружности (12.4) за направляющую взять эллипс:

(12.5)

то при непрерывном изменении h от -  до   эллипс (12.5) будет перемещаться в пространстве и, оставаясь параллельным плоскости Оxy, опишет конус с эллиптической направляющей. Уравнение конуса получится путём исключения h из уравнений (12.5):

. (12.6)

При a = b уравнение (12.6) обращается в уравнение (12.3) и определяет конус вращения.

3. Поверхности второго порядка Сфера

Определение 12.2. Сферической поверхностью или просто сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудалённых от одной точки, называемой центром сферы (рис.12.6).

Пусть известны координаты центра сферы С(a, b, c) и радиус R. Пусть M(x, y, z) – любая точка на сфере, тогда, по определению сферы, :

.

Возведя обе части в квадрат, получим уравнение сферы

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² .

Если a = b = c = 0, то центр находится в начале координат и уравнение сферы примет вид

x² + y² + z² = R².

Раскроем скобки в общем уравнении сферы:

x² + y² + b² – 2ax – 2by - 2cz +a² + b² + c² – R² = 0.

Получили уравнение второй степени. Но не всякое уравнение второй степени определяет сферу. Основные признаки сферы:

1) коэффициенты при x, y, z равны;

2) коэффициенты при xy, yz, zx равны нулю.

Эллипсоиды

Определение 12.3. Эллипсоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением

.

Это каноническое уравнение эллипсоида.

Для установления формы эллипсоида применим так называемый метод "параллельных сечений". Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Оxy. Уравнение плоскости z = h, а линия, полученная в сечении, определяется уравнениями:

Отсюда видно, что:

1) при | h | < c плоскость z = h пересекает нашу фигуру по эллипсу с полуосями:

, ;

2) при h = 0, a = a, b = b – имеют наибольшее значение;

3) при возрастании a и b убывают;

4) при h =  c a = 0, b = 0, т.е. эллипс вырождается в точку;

5 ) при - уравнения определяют мнимый эллипс, т.е. секущая плоскость z = h не пересекает поверхность.

Аналогично можно рассмотреть сечения эллипсоида плоскостями, параллельными плоскостям Оxz и Оyz. Заключаем, что эллипсоид есть замкнутая овальная поверхность, имеющая три перпендикулярные плоскости симметрии (рис. 12.7).

Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если они различны, эллипсоид называется трёхосным.

Если a = b = c, то эллипсоид является сферой. Если равными являются две полуоси, то получим эллипсоид вращения.