Обобщение понятие степени Корень n-степени

Корнем n-степени из числа называется такое число, n-степень которого равна .

Арифметическим корнем натуральной степени 2 из неотрицательного числа называется неотрицательное число, - я степень которого равна .

Арифметический корень n-степени из числа обозначается так: . Число называется подкоренным выражением. Если =2, то вместо пишут .

Арифметический корень второй степени называют также квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем.

Действие, посредством которого отыскивается корень, -й степени, называется извлечением корня -й степени. Это действие является обратным действию возведения в -й степень.

Для любого нечетного натурального числа 2k+1 уравнение имеет только один корень, причем отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом Его называют корнем нечетной степени из отрицательного числа.

Пример:

Корень нечетной степени из отрицательного числа связан с арифметическим корнем из числа - = следующим равенством

Пример:

Основные свойства корней

=

(

(

(

Степень рациональным показателем

Степенью числа с рациональным показателем где m – целое число, а

n – натуральное (n , называется число

по определению:

Для любых рациональных чисел и любых положительных чисел справедливы равенства:

усть рациональное число и Тогда

при

при

Для любых рациональных чисел из неравенства следует, что

при ,

при

Степень с действительным показателем

При любом и любом степень является положительным действительным числом: при

Для любого и любого число больше 1, то есть

при ,

Пусть и Тогда .

Пусть и Тогда

Пусть , . Тогда .

Пусть . Тогда если то .

При возведении неравенства с положительной левой и положительной правой частями в положительную степень знак неравенства не меняется, а при возведении в отрицательную степень знак неравенства меняется на противоположный.

Логарифмы

Логарифмом положительного числа по основанию , где , называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число .

основным логарифмическим тождеством)

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию и пишут вместо

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию где – иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут вместо

Свойства логарифмов

Пусть действительное число. Тогда справедливы формулы:

1.

2.

3.

4.

5. , (где

(формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию)

Показательная функция

Функция, заданная формулой , (где , называется показательной функцией с основанием

Свойства показательной функции:

Область определения – множество R всех действительных чисел

D( ) = (-

Область значения – множество R+ всех положительных чисел

E( ) = (0;

Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей, если

Значения функции - положительны

График любой показательной функции проходит через точку с

координатами (0;1)

Логарифмическая функция

Функция, заданная формулой , называют логарифмической функцией с основанием .

Свойства логарифмической функции:

Область определения – множество R+ всех положительных чисел

D ( ) = (0

Область значения – множество R всех действительных чисел

E ( ) = ( ;

Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке , если , и убывающей, если

Если , то функция принимает положительные значения при , отрицательные при . Если , то функция принимает положительные значения при , отрицательные при

График любой логарифмической функции проходит через точку

с координатами (1;0)