Организация записей как компетенция
Используйте таблицы для отражения алгоритма решения задачи и его реализации в конкретном примере.
в) Композиция функций определена для тех значений аргумента, для которых, во-первых, определена внутренняя функция, а, во-вторых, значения внутренней функции принадлежат области определения внешней функции.
Например, функция f(x)
=
определена тогда и только тогда, когда
4х – 1 0 и
2х –
> 0 (при работе с логарифмом удобно
проговаривать слова: «логарифм имеет
смысл, если выражение, стоящее под знаком
логарифма, _________________________»).
2. Нахождение области значений функции.
В вводном курсе математики находить область значений функции будем по графику; в курсе элементарной математики будут рассмотрены аналитические способы нахождения области значений.
3. Нахождение нулей функции.
Чтобы найти нули функции у = f(x), надо составить и решить уравнение __________.
4. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.
Способ 1 (на основе определения).
Используя эскиз графика, определить промежутки возрастания (убывания) функции, а затем доказать возрастание (убывание), пользуясь определением.
Например, для того, чтобы доказать, что функция f(x) возрастает на промежутке I, нужно 1) взять произвольные х1и х2 из этого промежутка; 2) допустить, что х1< х2; 3) затем доказать f(х1) ___ f (х2) (меньшему значению аргумента соответствует ________________ значение функции).
Задание
Оформите идеи способа 1 на языке «дано»- «доказать».
Дано: ______________________________________
Доказать: _________________________________
Элемент математической культуры как компетенция
ЭМК О способе доказательства неравенства через составление разности
Чтобы доказать неравенство, составляют разность левой и правой частей неравенства и определяют знак полученной разности. Чтобы определить знак разности, чаще всего разность раскладывают на множители и определяют знак каждого множителя.
Пример. Исследовать функцию у = 5х2 на монотонность.
Докажем, что функция _______________ на (–; 0].
Дано: у = 5х2;
x1 (–; 0]; x2 (–; 0];
x1 __x2.
Доказать: у1 __ у2.
Доказательство:
1. Составим разность, соответствующую неравенству, которое надо доказать |
2. Разложим разность на множители |
3. Определим знак разности |
4. Сделаем выводы |
у1 – у2 = 5 х12 – 5х22 = |
= 5 (_________) = =5 (______) (______) |
х1 – х2 __ 0, т.к. ____; х1 + х2 __ 0, т.к. x1 (–; 0]; x2 (–; 0] и х1 < х2, т.к. х1 и х2, не могут быть равны 0 одновременно |
Значит, 5 (х1 – х2) (х1 + х2) _0, потому у1 – у2 __ 0 или у1 __ у2 , что требовалось доказать. |
Организация записей как компетенция
Используйте таблицы для отражения алгоритма решения задачи и его реализации в конкретном примере.
Способ 2 (с использованием производной).
Теорема. Пусть функция f имеет производную в каждой точке интервала I = (a, b).
а) Если
для любого х I,
то функция
на I.
б) Если
для любого х I,
то функция
на I.