Пуассон таралуы:

n тәуелсіз сынақ жүргізілсін және әрбір сынақта, А оқиғасынын пайда болу ықтималдығы р-ға тең болсын. Осы сынақтарда оқиғаның к рет пайда болу ықтималдығын табу үшін Бернулли формуласы қолданылады. Егер n тым үлкен болса, онда Лапластың асимптоталық формуласы қолданылады. Егер оқиға ықтималдығы (р£0.1) болса, онда Бернулли формуласы жарамсыз. Осы жағдайларда (n тым үлкен, р аз) Пуассонның асимптоталық формуласы қолданылады.

Мынандай есеп қоямыз:, оқиға ықтималдығы өте аз, сынақтың саны өте үлкен болған жағдайда оқиғаның к рет пайда болу ықтималдығын табу керек.

nр көбейтіндісі тұрақты шама деп қарастырамыз, яғни np=l .

Әртүрлі сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығы, n-нің әртүрлі мәндерінде өзгеріссіз қалады. Осылайша Пуассон заңына бағынатын кездейсоқ шаманың таралуын мына түрде беруге болады:

. (2)

Бұл формула (n үлкен) және (р аз) сирек оқиғалар үшін Пуассонның таралу заңы деп аталады.

Пуассон заңына бағынатын кездейсоқ шаманың таралуын кесте түрінде беруге болады:

	0	1	2	...
				...

Ескерту: k және l мәндері арқылы, арнайы кестені пайдаланып, -ді табуға болады.

Мысалы 2: Завод базаға 5000 сапалы өнімді жіберді. Жолда өнімнің шығынға ұшырау ықтималдығы 0,0002. Базаға 3 жарамсыз өнімнің келу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Шарт бойынша, n=5000, р=0.0002, k=3. l-ні табамыз:

l= np= 5000*0,0002=1.

Іздеп отырған ықтималдығымыз Пуассон формуласы бойынша:

.

Қалыпты таралу заңы

Анықтама. Егер үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы

. (3)

формуласымен анықталса, онда Х кездейсоқ шамасы қалыпты таралған деп аталады.

Қалыпты таралу 2 параметр бойынша анықталады: және s. Қалыпты таралуды беру үшін осы параметрлерді білу жеткілікті.

Бұл параметрлер: : - математикалық күтім, s- қалыпты таралудың орта квадраттық ауытқуы.

Қалыпты таралудың математикалық күтімі - параметріне тең: . Қалыпты таралудың орта квадраттық ауытқуы s параметріне тең.

Гаусс қисығы

Анықтама. Қалыпты таралу тығыздығының графигін қалыпты қисық немесе Гаусс қисығы деп атайды.

функциясының графигін дифференциалдық есептеу әдісі бойынша зерттейміз:

1. Функция Ох осінің барлық нүктесінде анықталады.

2. х-тің барлық мәнінде функция оң мән қабылдайды, яғни Гаусс қисығы Ох осінің үстіңгі жағында жатады.

3. х шексіз өскендегі функцияның шегі (абсолют шамасы бойынша) нөлге тең: яғни Ох осі графиктің көлденең асимптотасы қызметін атқарады.

4. Функцияны экстремумға зерттейік. Бірінші ретті туындысын табамыз:

.

үшін ; болғанда яғни нүктесі функцияның максимумы.

5. Функцияның графигі түзуіне қарасты симметриялы.

6. Функцияны иілу нүктелеріне зерттейміз. Екінші ретті туындысын табамыз: .

және нүктелері үшін екінші ретті туындысы нөлге тең, ал осы нүктелерден өткенде туынды таңбасын өзгертеді (функцияның осы нүктелерінде мәні тең). Осылайша, графиктің және ) нүктелері иілу нүктелері болып табылады.

Г аусс қисығы (1) – суретте келтірілген.

0 x

1 - сурет