Раздел 13. Уравнения и неравенства

Изучив раздел, студенты должны уметь: решать простейшие и сводящиеся к квадратным тригонометрические неравенства.

В процессе аудиторного изучения раздела студенты познакомились с основными приёмами решения уравнений и неравенств (разложение на множители, введение новой переменной, подстановка, графический метод); научились преобразовывать показательные и логарифмические выражения, решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

В процессе самостоятельного изучения студенты должны отработать навыки решения тригонометрических неравенств.

Проверьте себя, решив упражнения, предварительно рассмотрев примеры решения:

1) cos (3π/2 + x)< - /2;

sin x < - /2;

Ответ: x  (- 2π/3 + 2πn,-π/3 + 2πn), n  Z.

2)sin x ≤ - cos x;

sin x + cos x ≤0;

( sin x + cos x ) ≤ 0;

sin (x + ) ≤ 0;

sin (x + ) ≤ 0;

x +  [ - π +2πn, 2πn], n  Z

x  [ -5π/4 + 2πn,- π/4+ 2πn], n  Z

Ответ: x  [ -5π/4 +2πn,- π/4+ 2πn], n  Z

3)sin 2x + cos 2x ≥ 1;

2(1/2 sin 2x + /2cos 2x) ≥ 1;

2 sin (2x + π/3) ≥ 1;

sin (2x + π/3) ≥ 1/2;

2 x + π/3  [π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn], n  Z;

x  [-π/12 + πn, π/4 + πn], n  Z;

Ответ: x  [-π/12 + πn, π/4 + πn], n  Z.

4) cos² x – 2cos x >0;

Пусть cos x = t;

t² – 2t >0;

t (t – 2) >0;

t < 0 или t >2

cos x < 0 cos x >2

x  [π/2 + 2πn,3π/2 + 2πn], n  Z, решений нет

Ответ: x  [π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn], n  Z.

Упражнения для самостоятельного решения:

1)

2)

Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2008. – 255 с.

2. Дадаян А.А. Математика: учеб. / А.А. Дадаян. – М.: Форум: Инфра -М, 2007. – 544 с.

3. Дадаян А.А. Сборник задач по математике / А.А. Дадаян. – М.: Форум: Инфра – М, 2007. – 352 с.

4. Колягин Ю.М. Математика: учеб. пособие. Книга 1 / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н. Яковлев. – М.: Новая волна, 2004.– 656 с.

5. Колягин Ю.М. Математика: учеб. пособие. Книга 2 / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н. Яковлев. – М.: Новая волна, 2004.– 656 с.

6. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-11 классов средней школы/ А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 1990. – 384 с.

7. М. И. Башмаков Математика: учеб./ М. И. Башмаков. - М.: Академия, 2013. – 256 с.

8. М. И. Башмаков Математика. 10 класс. Базовый уровень: М. И. Башмаков. - М.: Академия, 2011

9. М. И. Башмаков Математика. 11класс. Базовый уровень: М. И. Башмаков. - М.: Академия, 2012

19