Раздел 5. Координаты и векторы

Изучив раздел, студенты должны знать: формулу расстояния между двумя точками, уравнения сферы, плоскости и прямой; уметь: использовать координаты и векторы при решении математических и прикладных задач.

Пользуясь учебником Ю.М. Колягина «Математика», с. 47-67 и с. 216-221, студентам необходимо самостоятельно изучить вопросы:

1. Уравнение прямой.

2. Уравнение плоскости.

В качестве дополнительной литературы можно пользоваться учебником А.А. Дадаяна «Математика» и сборником задач по математике этого же автора.

Проверьте себя, ответив на вопросы:

1. Запишите параметрические уравнения прямой.

2. Как записывается каноническое уравнение прямой?

3. Запишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

4. Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

5. Какое уравнение называется общим уравнением прямой?

6. Какой вектор называется нормальным вектором плоскости?

7. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору?

8. Какой вид имеет общее уравнение плоскости?

9. Запишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам, в векторной и координатной форме.

Решите следующие задачи:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).

2. Стороны треугольника заданы уравнениями: (AB) 2x + 4y + 1 = 0, (AC) x - y + 2 = 0, (BC) 3x + 4y -12 = 0. Найти координаты вершин треугольника.

Раздел 6. Основы тригонометрии

Изучив раздел, студенты должны знать: формулы половинного угла, свойства обратных тригонометрических функций, определения арксинуса, арккосинуса и арктангенса; уметь: преобразовывать сумму тригонометрических функций в произведение и наоборот, решать простейшие тригонометрические неравенства.

Познакомившись на занятиях с основными тригонометрическими тождествами, формулами приведения, при самостоятельном изучении, используя учебник Ю.М. Колягина «Математика», с.288-291, с.293-296, студентам необходимо обратить внимание на следующие вопросы:

1. Формулы половинного угла.

2. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических выражений в произведение.

3. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Прежде, чем приступить к решению упражнений, рассмотрите следующий пример:

Пример. Решите неравенство .

Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для

которых ордината превосходит .

Для x [0; 2π] решением данного неравенства будут х Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2πn, n то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2πn, где n . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все х , где n

Ответ: х , где n

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно знать линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности. Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.