Упражнения для самостоятельного решения

Упражнение 1. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближенного значения а величины х, если:

Упражнение 2. Найдите сумму, разность и произведение чисел :

Раздел 2. Корни, степени и логарифмы

Изучив раздел, студенты должны уметь: находить значения корня, степени, логарифма на основе определения, выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов и корней.

В процессе аудиторного изучения раздела студенты познакомились с корнями натуральной степени из числа, степенями с рациональными показателями, логарифмами, их свойствами. Научились преобразовывать алгебраические, рациональные, степенные, показательные и логарифмические выражения.

В процессе самостоятельного изучения студенты должны отработать навыки применения основного логарифмического тождества и формулы перехода к новому основанию при упрощении логарифмических выражений.

Проверьте себя, выполнив тест:

1. Вычислите значение выражения: .

1) 25; 2) 10; 3) 4) 625.

2. Упростите выражение:

1) 1; 2) ; 3) ; 4) .

3. Вычислите:

1) 2) 3) 2; 4) .

4. Вычислите: .

1) 8; 2) 0; 3) 9; 4) -3.

5. Вычислите:

1) 2) 3) 4)

6. Найдите значение выражения:

1) 1; 2) 0,5; 3) -4; 4) -5.

7. Вычислите:

1) -1; 2) -18; 3) 1; 4) -2.

Раздел 3. Прямые и плоскости в пространстве

Рассмотрите содержание следующего учебного материала об ортогональной проекции многоугольника и её площади.

Теорема: Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Доказательство.

Пусть есть треугольник ABC и его проекция ABC1 на плоскость α. Проведем высоту CD треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах отрезок C1D – высота треугольника ABC1. Угол CDC1 равен углу φ между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции α.

Следовательно, для треугольника теорема верна.

Пусть теперь есть многоугольник ABCD. Разобьем его на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции. Получаем что для каждого треугольника Δ и его проекции Δ` в плоскости α верно равенство

Сложим все эти равенства почленно, получим:

Теорема доказана.

Эту теорему с успехом применяют, прежде всего, при вычислении площадей сечений многогранников. Данный подход используется в ситуациях, когда нахождение площади ортогональной проекции многоугольника, полученного в сечении, и угла между секущей плоскостью и плоскостью проектирования сопряжено с меньшими трудностями, чем непосредственное вычисление площади сечения. В этом случае:

Используя изученный материал, решите следующие задачи:

1. В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45⁰ к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения. 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 5, угол между ними равен 30°. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, пересекающей все его боковые рёбра и образующей с плоскостью основания угол в 45°.