VI. Литература, рекомендованная преподавателю Основная:

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика. Учебник для вузов. – М.ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

2. Григулецкий В.Г., З.В. Ященко. Учебное пособие для вузов. Ростов на Дону. Феникс, 2004 – 633 с.

3. Щипачев В.С.. Высшая математика: Учебник для вузов. – 5 изд., стер. - М.: Высшая школа, 2001. – 254 с.

4. Евграфов В.Г., Антошина Т.Н., Исаков С.Л. : Математика. Методические указания и контрольные задания – СПб, 2005. – 120 с.

5. Колебаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов.- 2-е изд., перераб. и допол. – М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 303 с.

Дополнительная:

1. Сборник задач по математике для вузов: Специальные разделы математического анализа /Под ред. А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. -342 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1973. -334 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-

М.: Высшая школа, 2001. -342 c.

VII. Приложение

1. Содержательное описание темы занятия.

Разработал

Доцент кафедры прикладной математики и информационных технологий

А.Ю. Лабинский

Этапы прогнозирования и их содержание.

Обучающимся предлагается ряд заданий для работы на компьютере по этапам прогнозирования и их содержанию.

Пример 1. Исследовать характер изменения с течением времени количества пожаров в регионе по годам и подобрать аппроксимирующую функцию, располагая следующими данными:

Год	Количество пожаров
1999	171
2000	180
2001	189
2002	197
2003	197

Решение:

1. Для построения диаграммы, прежде всего необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Год. Затем в ячейки А2:А6 последовательно вводим годы, начиная с 1999. Далее в ячейку В1 заносим слово Количество пожаров и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение 171 соответствующее значению года в ячейке А2. Аналогично заполняем ячейки В3:B6

2. Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму. Поскольку здесь необходимо строить динамику изменений количества пожаров, не привязываясь к конкретному году, а от отвлеченных переменных – выберем диаграмму График. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы График, вид – левый средний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных – В1:В6 (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:А6. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы – Динамика пожаров в районе, названия осей Х и Y: Годы и Количество пожаров, соответственно. Нажимаем кнопку Готово.

Получен график экспериментальных данных.

3. Осуществим аппроксимацию полученной кривой полиномиальной функцией второго порядка, поскольку кривая довольно гладкая и не сильно отличается от прямой линии. Для этого указатель мыши устанавливаем на одну из точек графика и щелкаем правой кнопкой. В появившемся контекстном меню выбираем пункт Добавить линию тренда. Появляется диалоговое окно Линия тренда.

В этом окне на вкладке Тип выбираем тип линии тренда – Полиномиальная и устанавливаем степень – 2. Затем открываем вкладку Параметры и устанавливаем флажки в поля показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). После чего нужно щелкнуть по кнопке ОК. В результате получим на диаграмме аппроксимирующую кривую. Уравнение наилучшей полиномиальной аппроксимирующей функции для некоторых отвлеченных значений x (1, 2, 3) выглядит как

При этом точность аппроксимации достаточно высока

4. Попробуем улучшить качество аппроксимации выбором другого типа функции (возможно более адекватного). Здесь возможным вариантом представляется логарифмическая функция. Для этого повторяем операции п.3 за исключением того, что в окне Линия тренда на вкладке Тип выбираем тип линии тренда – логарифмическая. В результате получим другой вариант аппроксимации – логарифмический кривой (Показать преподавателю).

По лученное уравнение логарифмической аппроксимирующей функции несколько уступает по точности аппроксимации полиномиальной функции

Поэтому если нет каких-либо теоретических соображений, то можно считать, что наилучшей аппроксимацией является аппроксимация полиномиальной функцией второй степени (из двух рассмотренных вариантов).

Пример 2. Как используя уравнение полинома, полученное в первом примере, спрогнозировать количество пожаров в 2004 году.

Для этого нужно использовать способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении показаний времени таким образом, чтобы  t = 0. При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней ряда порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и -1 всех предыдущих уровней. Например при n = 5 обозначения времени будут -2, -1, 0 , +1, +2. При четном числе уровней, например n = 6, порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами -1, -3, -5, а нижней половины ряда обозначаются +1, +3, +5.

Теперь вернемся к предыдущей таблице и дополним ее показателями времени.

Год	Количество пожаров	t
1999	171	-2
2000	180	-1
2001	189	0
2002	197	+1
2003	197	+2

Воспользуемся полученной ранее формулой и подсчитаем прогнозируемое количество пожаров в 2004 году.

Подставив вместо x значение показателя времени для 2004 года получим прогнозируемое число пожаров в 2004 году

равное 188.

(Показать преподавателю).

Пример 3. Самостоятельно, используя приведенный выше алгоритм действий, выбрать математическую модель и спрогнозировать средний балл группы курсантов № 27 на 3 курсе института.

Известны данные об успеваемости за 1 курс.

1 семестр 1 курс	3,02
2 семестр 1 курс	3,33
3 семестр 2 курс	3,12
4 семестр 2 курс	2,99

Построить диаграмму, определить наиболее адекватную модель тренда, отобразить на экране функцию и коэффициент аппроксимации.

(Показать преподавателю полученные результаты).

Полученный средний балл в 5 семестре 3 курса должен быть 2,49

Пример 4. После выбора ядовитого вещества его концентрация (мг/л) в водоеме изменялась в соответствии со следующей таблицей

Время выброса (час)	Концентрация вещества (мг/л)
1	8,0
3	2,8
5	3,0
8	0,3

Определить вид функциональной зависимости изменения концентрации вещества от времени и оценить его концентрацию в водоеме в момент выброса.

Решение.

1. Ввести в ячейку А1 слово Время. Затем в ячейки А2:А5 последовательно ввести время: 1, 3, 5, 8. Далее в ячейку В1 заносим слово Концентрация и в диапазон В2:B5 вводим соответствующую концентрацию вещества.

2. Построим диаграмму Точечная. Вид выбрать - левый верхний. Затем нажимаем кнопку Далее указываем диапазон ввода данных - В1:В5 (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси Х:A2:A5. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы - Концентрация вещества, название осей Х и Y: Время и Концентрация, соответственно. Нажимаем кнопку Готово. Получен график.

3. Осуществим аппроксимацию полученной кривой. Поскольку кривая напоминает экспоненту, наиболее вероятный закон ее изменения экспоненциальный. Ставим указатель мыши на одну из точек графика и щелкаем правой кнопкой. В появившемся меню выбираем Добавить линию тренда. Выбираем тип линии тренда - Экспоненциальная. Затем открываем вкладку Параметры и устанавливаем флажки в поля Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмме величину достоверности аппроксимации (R^2). Кроме этого, для того чтобы оценить концентрацию вещества в водоеме в момент выброса в поле Прогноз назад на устанавливаем 1 периодов. После чего щелкаем на кнопке ОК. В результате получим на диаграмме аппроксимирующую кривую.

Уравнение наилучшей экспоненциальной аппроксимирующей функции для зависимости концентрации от времени выглядит как:

П ри этом точность аппроксимации очень высокая

Ч то позволяет считать функцию адекватной. Расчетная оценка концентрации вещества в момент выброса, как видно из графика, составляет около 12 мг/л. Более точная цифра может быть получена из уравнения при x = 0 (y = 11,84 мг/л)

Пример 5. Самостоятельно построить функцию наилучшим образом отражающую данную зависимость. Пояснить свой выбор.

X	1,0	1,5	3,0	4,5	5,0
Y	1,25	1,4	1,5	1,75	2,25

Б) При нескольких независимых переменных

В тех случаях, когда аппроксимирующая переменная y зависит от нескольких независимых переменных x.

y = f(x1,x2,...,xn). Подход с построением линии тренда в такой ситуации не даст решения. Здесь могут быть использованы специальные функции Excel.

ЛИНЕЙН для аппроксимации линейных функций вида:

Л ГРФПРИБЛ для аппроксимации показательных функций вида:

Ф ункции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ служат для вычисления неизвестных коэффициентов a0, a1,...an, а также коэффициентов детерминации и других статистических показателей.

Пример 6. Источник радиоактивного излучения попадает в жидкость. Датчики обнаружения радиоактивного излучения расположены на расстоянии (x1) 20 , 50 и 100 см от источника. Измерения интенсивности излучения (y, мРн) проводились через 1, 5 и 10 суток (x2) после установки источника. Результаты измерений (y) приведены в таблице.

X1 (расстояние)	X2 (сутки)	Y (результаты измерений)
20	1	61,2
50	1	33,6
100	1	12,3
20	5	43,6
50	5	24
100	5	8,8
20	10	28,3
50	10	15,6
100	10	5,7

1. Введем данные в рабочую таблицу: в ячейку А1 - символ x1, в ячейку В1 - x2, в ячейку С1- y. В диапазон ячеек А2:А10 внесем значения x1, в диапазон В2:B10 - значения x2 и в диапазон С2:С10 значенияY.

2. Выделяем блок ячеек D1: F5 под массив результатов.

3. Поскольку уравнение для вычисления интенсивности имеет степенной характер, вызываем функцию ЛГРФПРИБЛ, (панель инструментов Стандартная, кнопка Вставка функции, рабочее поле Категория тип Статистические, рабочее поле Функция вид ЛГРФПРИБЛ).

4. Заполняем рабочие поля: Изв_знач_y = С2:C10 (значения y); Изв_знач_x =А2:B10 (значения х); Константа = 1 (для учета свободного члена уравнения), Стат =1 (Статистика = 1, вывод на экран всех результатов расчета). Нажимаем F2. Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

5. В результате в диапазоне D1:F5 получим следующие данные:

0,918043	0,980162	99,70907
0,000337	3,7E-05	0,003051
0,999983	0,003722	Н/Д
174174,7	6	Н/Д
4,8	8,31E-05	Н/Д

Здесь первая строка - значения коэффициентов a2, a1, a0 соответственно, вторая строка - стандартные ошибки этих коэффициентов, третья строка - коэффициент детерминации R^2. Остальные значения - статистические показатели.

И скомое уравнение имеет вид:

Точность аппроксимации очень высокая, т.к. значение коэффициента детерминации