Уравнение состояния идеального газа (Клапейрона – Менделеева)

Опыт показывает, что в состоянии термодинамического равновесия давление газа Р, его объем V и температура Т находятся в функциональной зависимости не только для идеальных, но и для реальных газов, которая может быть выражена уравнением

Уравнение называется уравнением состояния. Вид уравнения получен путем обобщения опытных данных, которые известны как

закон Бойля – Мариотта

закон Гей – Люссака

закон Шарля

Таким образом, для одного моля газа связь параметров состояния имеет вид

где – объем одного моля газа, который согласно закону Авогадро одинаков для всех газов при одинаковой температуре и давлении; R – универсальная газовая постоянная, равная

Для любой массы газа уравнение состояния имеет вид

где – объем, который занимает весь газ; – соответственно масса и молекулярная масса газа; – число молей газа.

Уравнение называется уравнением Клапейрона – Менделеева.

Статистические распределения

При термодинамическом равновесии в любой макроскопической системе статистические распределения физических величин имеют универсальный вид, установленный Гиббсом. Частными случаями распределения Гиббса являются распределения молекул идеального газа по скоростям (закон Максвелла) и распределение положения молекул в потенциальном поле (распределение Больцмана).

Распределение молекул газа по скоростям (закон Максвелла)

В результате теплового движения молекул в газе, находящемся в состоянии теплового равновесия, устанавливается некоторое стационарное (постоянное) распределение молекул по скоростям.

Если отложить на оси ординат функцию распределения , а на оси абсцисс скорости молекул , и разбить диапазон изменения скоростей молекул на малые интервалы , то на каждый интервал будет приходиться некоторое количество молекул , имеющих скорость, заключенную в данном интервале.

Функция распределения Максвелла определяет относительное количество молекул , скорости которых заключены в интервале от v до , т. е.

Таким образом, площадь на рис. определяет относительное количество молекул, скорости которых лежат в интервале от v до .

Вид функции распределения молекул по скоростям , с использованием теории вероятностей был установлен Максвеллом

Конкретный вид функции зависит от массы молекул и температуры газа. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, т. е. функция распределения удовлетворяет условиям нормировки

а это есть численное значение площади под кривой.

Скорость, при которой функция распределения имеет максимум, называется наиболее вероятной скоростью. Значение можно вычислить, приравняв производную

наибольшее число молекул имеет наиболее вероятную скорость

В МКТ пользуются также понятием среднеарифметической скорости , которая также вычисляется из закона распределения Максвелла

скорости молекул зависят от температуры. При повышении температуры максимум функции распределения смещается вправо, но площадь под кривой численно равна 1.

Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

закон изменения давления с высотой, газ находится в поле тяготения Земли.

Предположим, что это поле однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова и равна . Гравитационное поле, с одной стороны, и тепловое движение – с другой, приводит к стационарному распределению молекул газа по высоте, при котором давление с высотой убывает.

Пусть на высоте давление равно , а на высоте соответственно , причем, если , так как давление с высотой убывает.

По закону Паскаля

1

где – плотность газа на высоте h (при малом изменении ).

а

2

Вычтя из (2) (1), получим

.

Используя уравнение Клапейрона – Менделеева , выразим плотность газа в виде

получим

Разделим переменные,

Проинтегрируем

получим

Выражение называется барометрической формулой.

Если воспользоваться соотношением получим

.

Учитывая, что – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, формулу можно представить как

Выражение называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Таким образом, рассмотренные статистические распределения имеют экспоненциальный характер, причем в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение характерной энергии молекулы к величине , которая пропорциональна средней кинетической энергии теплового движения молекул.