4 Выбор оптимального варианта перевозки грузов

Железнодорожным транспортом прибывает четыре рода грузов для перевалки на морской вид транспорта. Общий объём прибывающих грузов составляет 20000 т, из которых 8000 тонн руды, 4000 т угля, 3000 т металлов и 5000 т гравия (судовые партии). Каждый род груза перегружается на отдельное специализированное судно, грузоподъёмность которого равна объёму прибывающих партий грузов. Грузы могут перегружаться по двум вариантам: прямому (вагон-судно) и складскому (вагон-склад-судно). Перерабатывающая способность портовых транспортно-технологических мощностей позволяет за сутки осуществлять перевалку по прямому варианту только 6000 т грузов. Требуется оптимизировать процесс перевалки и распределить грузооборот таким образом, чтобы суммарная стоимость перевалки была минимальной. Стоимости перевалки каждого рода груза по вариантам представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Судно	Род груза	Стоимость перевалки 1 т груза по вариантам, руб.
		судно – вагон	судно - склад - вагон
A1	Руда	9	15
A2	Уголь	8	12
A3	Металл	15	25
A4	Гравий	12	21

Для оптимизации перевалки груза в порту необходимо определить минимум функционала

(4.1)

при ограничении

где П_j – объём перевалки по j – му варианту;

a_i – грузоподъёмность i- го типа судна;

c_{i j} – себестоимость перевалки i – груза j – м способом.

Учитывая, что объём перевалки по прямому варианту составляет П₁=4600 тонн, можно определить количество грузов, перегружаемых через склад

(4.2)

П₂ = (6000 + 4000 + 2500 + 3200) – 4600 = 11100 т.

Процесс оптимизации можно осуществлять методами линейного программирования, для чего необходимо представить данные в табличной форме.

Таблица 4.2

Род груза	Стоимость перевалки 1 т груза по вариантам, руб.		, т
	судно – вагон	судно – склад – вагон
Руда	9 2000	15 6000	8000
Уголь	8 4000	12	4000
Металл	15	25 3000	3000
Гравий	12	21 5000	5000
	6000	14000	20000

Первоначальный план составим методом наименьшей стоимости, сущность которого состоит в том, что в клетки с наименьшей стоимостью помещается максимально возможное количество тонн для перевалки. В данной таблице минимальная стоимость в ячейке 1.1 составляет , что соответствует перевалке угля на судно по прямому варианту – в эту клетку помещаем максимально возможный объём перерабатываемого груза, второй по стоимости – перевалка руды по прямому варианту, помещаем в эту клетку недостающий объём столбца 6000 – 4000 = 2000 т руды и столбец 1, которому соответствует прямой вариант вагон-судно, исключаем из дальнейшего рассмотрения. Оставшуюся часть руды 8000 – 2000 = 6000 т помещаем в следующую клетку строки с минимальным значением стоимости, для данной таблицы это ячейка 1.2 со стоимостью с₁₂ = 15 руб/т.

Для начального плана должно выполняться условие z = m + n – 1, где z – число занятых клеток; m, n – число строк и столбцов в расчётной таблице.

z = 4 + 2 – 1 = 5, следовательно требование к начальному плану соблюдается.

Суммарная стоимость перевалки грузов в результате реализации плана, составит

E_нач = 92000 + 84000 + 156000 + 253000 + 215000 = 310000 руб.

Для улучшения начального плана воспользуемся методом потенциалов. Система потенциалов строится в соответствии с условием _i = u_j + c_ij, если x_ij > 0,

где u_j – потенциал строки, _i – потенциал столбца.

Присваиваем строке, содержащей заполненную клетку (с наибольшей стоимостью) произвольный потенциал, и далее с учетом приведенного условия рассчитываем потенциалы остальных строк и столбцов.

Таблица 4.3

Род груза	Потенциалы	Стоимость перевалки 1 т груза по вариантам, руб.
		судно – вагон	судно – склад – вагон
	 j ui	24	30
Руда	15	9 2000	15 3 6000	8000
Уголь	16	8 4000	12	4000
Металл	5	15 1	25 2 3000	3000
Гравий	9	12 4	21 5000	5000
Пj		6000	14000	20000

Принимая для третьей строки потенциал u₃ = 5, потенциал второго столбца составит ₂ = 5 + 25 = 30. По известному потенциалу второго столбца, определяем потенциалы остальных строк и первого столбца:

u₁ = 30 – 15 =15; ₁ = 15 + 9 = 24; u₂ = 24 – 8 =16; u₄ = 30 – 21 =9.

Условие II. Для свободных клеток, в которых нет объёмов перевозок, должно выполняться условие

Проверим выполнение условия оптимальности всех свободных клеток:

для клетки 2.2: ₂ – u₂ = 30 – 16 = 14 > 12 – условие не выполняется;

для клетки 3.1: ₁ – u₃ = 24 – 5 = 19 > 15 – условие не выполняется;

для клетки 4.1: ₁ – u₄ = 24 – 9 = 15 > 12 – условие не выполняется.

Выбираем клетку с максимальным нарушением условия оптимальности (клетка 3.1) и строим замкнутый контур. Одна из вершин контура, должна находиться в этой свободной клетке, а остальные вершины в базисных клетках. Контур будет состоять из вершин в клетках: 3.1 – 3.2 – 2.2 – 2.1, нумерация вершин начинается с незанятой клетки.

Далее в таблице уменьшаем объем грузов в четных клетках контура и увеличиваем в нечётных, на наименьшую величину (чтобы не было отрицательных значений). В данном контуре наименьшая величина в четных клетках 2000 т.

Следовательно, объёмы перевалки в нечётных клетках контура (2.2 и 3.1) могут быть увеличены на 2000 т. Для нового плана перевозок в таблице 4.4 рассчитаем потенциалы и проверим на выполнение условия оптимальности.

Таблица 4.4

Род груза	Потенциалы	Стоимость перевалки 1 т груза по вариантам, руб.		, т
		судно – вагон	судно – склад – вагон
	 j ui	20	30
Руда	15	9	15 8000	8000
Уголь	12	8 2 4000	12 1	4000
Металл	5	15 3 2000	25 4 1000	3000
Гравий	9	12	21 5000	5000
Пj		6000	14000	20000

Проверим свободные клетки 1.1, 2.2 и 4.1 на условие оптимальности:

₁ – u₁ = 20 – 15 = 5 < 9 – условие выполняется; ₂ – u₂ = 30 – 12 = 18 > 12– условие не выполняется; ₁ – u₄ = 20 – 9 = 11 < 12 – условие выполняется.

Проверка на выполнение условия оптимальности показывает, что нарушение имеется для клетке 2.2