§ 7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

В прикладных задачах чаще требуется найти не экстремум изучаемой величины, а ее наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке изменения аргумента.

Пусть требуется найти наибольшее (М) и наименьшее (m) значения дифференцируемой функции у = f (х) на заданном отрезке а; b.

а) Может быть, что f (х) не имеет экстремума на а; b. Тогда функция монотонно возрастает или убывает на а; b. В этом случае М равняется большему, а m  меньшему из чисел f (а), f (b)  значений функции на концах а; b. Показано на Рис. 8., Рис. 9.

Рис. 8.

Рис. 9.

б) Наиболее важным является случай, когда функция f (х) имеет строго один экстремум

f (х₀) на отрезке а; b. Если f (х₀) есть максимум f (х), то М = f (х₀), а m будет равно меньшему из чисел f (а), f (b). Если f (х₀) есть минимум f (х), то m = f (х₀), а М будет равно большему из чисел

f (а), f (b). Показано на Рис. 10., Рис. 11.

m = f (a), М = f (х0) Рис. 10.

m = f (х0) М = f (a) Рис. 11.

в) Пусть функция f (х) имеет на данном отрезке а; b конечное число критических точек. Тогда М будет совпадать с большим из трех чисел: наибольшим из максимумов на а; b, f (а),

f (b), а m: наименьшим из минимумов на а; b, f (а), f (b).

Замечание. При решении задач практически определяют только критические точки функции на данном отрезке. На экстремум их не исследуют.

Из всего сказанного вытекает следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на данном отрезке.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (1.7).

Чтобы найти наибольшее М и наименьшее m значения функции у = f (х) на а; b, надо:

1. Найти все критические точки функции у = f (х); проверить, принадлежат ли они отрезку а; b;

2. Определить значения функции в критических точках и на концах отрезка а; b;

3. Из всех полученных чисел выбрать наибольшее (это М) и наименьшее (это m).

1.7. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке (адрес файла Блок 4 ___ ). Чтобы найти наибольшее М и наименьшее m значения функции у = f (х) на а; b, надо: Найти все критические точки функции у = f (х); проверить, принадлежат ли они отрезку а; b; Определить значения функции в критических точках и на концах отрезка а; b; Из всех полученных чисел выбрать наибольшее (это М) и наименьшее (это m). Вернитесь к тексту

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х³  2х² + 1 на отрезке 1; 1.

Решение. 1) Находим критические точки функции

у = 3х²  4х, у = 0, 3х²  4х = 0,

х (3х  4) = 0, х₁ = 0  1; 1,

3х  4 = 0, х₂ = 4/3  1; 1.

Нам нужна критическая точка х = 0.

2) Находим значения функции в критической точке и на концах отрезка 1; 1.

у (0) = 1,

у (1) = 1  2 + 1 = 2,

у (1) = 1  2 + 1 = 0.

3) Из полученных чисел выберем наибольшее и наименьшее.

Ответ: М = у (0) = 1, m = у (1) = 2.

Пример. Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр 2р, наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение. Обозначим длину одной стороны прямоугольника через х. Тогда длина другой стороны будет р  х, т.к. 2 (х + у) = 2р, х + у = р, у = р  х; х  (0; р).

Площадь прямоугольника S = х  у, S = х (р  х). S = рх  х², S = р  2х, S = 2  0 для любого х.

Находим критические точки.

S = 0, р  2х = 0,  (0; р).

Т.к. критическая точка единственная и S   0 для любого х, то в этой точке функция S имеет единственный максимум, который и будет наибольшим значением функции на (0; р).

Мы нашли, что наибольшего значения площадь прямоугольника достигает, когда одна его сторона . Другая сторона равна , т.е. стороны равны. Это значит, что прямоугольник – квадрат.

Ответ: из всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.