§ 3. Достаточный признак возрастания и убывания функции.

Доказанный признак является необходимым, но не достаточным, чтобы судить возрастает или убывает функция на данном интервале.

Достаточный признак возрастания и убывания функции (1.3).

1. Если производная f  (x) дифференцируемой функции f (x) положительна внутри некоторого интервала, то функция возрастает на этом интервале.

2. Если производная f  (x) дифференцируемой функции f (x) отрицательна внутри некоторого интервала, то функция убывает на этом интервале.

1.3. Достаточный признак возрастания и убывания функции (адрес файла Блок 4 __ ). Если производная f  (x) дифференцируемой функции f (x) положительна внутри некоторого интервала, то функция возрастает на этом интервале. Если производная f  (x) дифференцируемой функции f (x) отрицательна внутри некоторого интервала, то функция убывает на этом интервале. Вернитесь к тексту

Доказательство.

1. Пусть функция f (x) дифференцируема в интервале (а; b).

f  (x)  0 для всех х из (а; b).

Рассмотрим два любых значения аргумента х₁ и х₂ из (а; b) таких, что х₂  х₁.

По теореме Лагранжа (9.3 ПМ. ДИФОП–9) имеем:

f (x₂)  f (x₁) = f  ()  (х₂  х₁), где х₁    х₂.

По условию f  ()  0, х₂  х₁  0.

Следовательно, f ()  (х₂  х₁)  0 и f (х₂)  f (х₁)  0.

Откуда f (х₂)  f (х₁), т.е. функция f (х) возрастает на (а; b).

2. Доказательство второй части теоремы аналогично доказательству ее первой части.

Пример. Исследовать на возрастание и убывание функцию f (х) = х³  3х + 2.

Решение. Находим производную f (х) = 3х²  3 = 3 (х²  1).

Производная обращается в нуль при х = 1. Разобьем числовую ось на промежутки:

(; 1, 1; 1 1; +).

Определим знак производной на каждом из промежутков.

(; 1): f  (х)  0, f (х) 

(1; 1): f  (х)  0, f (х) 

(1; +): f  (х)  0, f (х) 

Ответ: функция возрастает на (; 1 и 1; +) и убывает на 1; 1.

Промежутки, в которых данная функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности этой функции (интервалами монотонности).

§ 4. Максимум и минимум функции.

Особую роль в исследовании функций играют значения аргумента х, отделяющие интервал возрастания функции от интервала убывания и наоборот. В этих точках функция f (х) меняет характер своего изменения. При переходе независимой переменной х через эти точки (как всегда, слева направо) функция f (х) из возрастающей становится убывающей и наоборот.

Дадим следующие определения.

Максимум и минимум функции (1.4).

Функция f (х) имеет в точке х₀ максимум, если ее значение в точке х₀ больше любого другого ее значения из некоторой окрестности точки х₀.

Функция f (х) имеет в точке х₀ минимум, если ее значение в точке х₀ меньше любого другого ее значения из некоторой окрестности точки х₀.

1.4. Максимум и минимум функции (адрес файла Блок 4 ___ ). Функция f (х) имеет в точке х0 максимум, если ее значение в точке х0 больше любого другого ее значения из некоторой окрестности точки х0. Функция f (х) имеет в точке х0 минимум, если ее значение в точке х0 меньше любого другого ее значения из некоторой окрестности точки х0. Вернитесь к тексту.

На графике это выглядит так: Рис. 4., 5.

f (х0)  f (х), х  (х0  ; х0 + ) f (х0) = max f (x) Рис. 4.

f (х0)  f (х), х  (х0  ; х0 + ) f (х0) = min f (x) Рис. 5.

Максимум и минимум функции называется экстремумом функции, а те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции (соответственно: точками максимума или точками минимума).