§ 8. Схема полного исследования функций и построение графиков.

Построение графика функции служит заключительным этапом исследования функции. Для удобства ведут исследование в определенной последовательности.

Схема полного исследования функций и построение графиков (3.8).

1. Находим область определения функции.

2. Если есть точки разрыва, определяем характер разрыва.

3. Исследуем функцию на четность, нечетность.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Исследуем функцию на экстремум.

7. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

8. Строим график функции.

3.8. Схема полного исследования функций и построение графиков (адрес файла Блок 4 ___ ). Находим область определения функции. Если есть точки разрыва, определяем характер разрыва. Исследуем функцию на четность, нечетность. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим асимптоты графика функции. Исследуем функцию на экстремум. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Строим график функции. Вернитесь к тексту

Пример. Провести исследование функции и построить ее график.

.

Решение.

1. Находим область определения функции.

х + 1  0, х  1. D (у) = (;1)  (1; +).

2. х = 1 – точка разрыва. Определяем характер разрыва.

,

.

х = 1 – точка разрыва ІІ рода.

3. Исследуем функцию на четность, нечетность.

.

Функция не является ни четной, ни нечетной. Симметрии графика нет.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат.

у = 0 – уравнение оси Ох.

, х = 0. (0; 0) – точка пересечения с осью Ох.

х = 0 – уравнение оси Оу.

, (0; 0) – точка пересечения с осью Оу.

5. Находим асимптоты графика функции.

Т.к. х = –1 – точка разрыва ІІ рода, то х = –1 – вертикальная асимптота.

Ищем наклонные асимптоты. у = kx + b, где

, .

.

.

Уравнение наклонной асимптоты.

.

6. Исследуем функцию на экстремум.

; .

Находим критические точки функции.

у = 0, х² (х + 3) = 0, х₁ = 0, х₂ = 3.

у = , х + 1 = 0, х = 1  D (у)

Исследуем точки х₁ = 0, х₂ = 3 на экстремум.

(; 3): у  0, у

(3; 1): у  0, у

(1; 0): у  0, у

(0; +): у  0, у

.  max f (х).

7. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость точки перегиба.

.

у = 0, х = 0. Исследуем точку х = 0.

(; 1): у  0, у

(1; 0): у  0, у

(0; +): у  0, у

у (0) = 0; (0; 0) – точка перегиба участка.

Выполненное исследование можно занести в таблицу.

х	(; 3)	3	(3; 1)	1	(1; 0)	0	(0; +)
у	+	0		не существует	+	0	+
у				не существует		0	+
у	 	max	 	не существует	 	точка перегиба	 

Замечание. Таблицу составлять не обязательно.

8. Строим график.