§ 7. Асимптоты графика функции.

Для того, чтобы правильно представить себе форму всего графика и, следовательно, характер изменения функции во всей области ее определения, необходимо знание бесконечных ветвей функции. Рассмотрим этот вопрос с геометрической точки зрения. Дадим определение асимптоты кривой.

Асимптоты графика функции (3.7).

Прямая а называется асимптотой кривой, если расстояние  от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю.

3.7. Асимптоты графика функции (адрес файла Блок 4 _____ ). Прямая а называется асимптотой кривой, если расстояние  от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю. Вернитесь к тексту

у

а

Наглядно это можно увидеть на Рис. 7 и Рис. 8.

0 Рис. 7.

0 Рис. 8.

Различают асимптоты вертикальные и невертикальные. К невертикальным асимптотам относятся наклонные и горизонтальные.

Вертикальные асимптоты.

Вертикальными асимптотами являются асимптоты, параллельные оси у. Уравнение такой асимптоты х = х₀. Согласно определению асимптоты при х  х₀ f (х)  .

Обратно, если точка х₀ есть точка бесконечного разрыва функции у = f (х), то прямая х = х₀ есть асимптота линии у = f (х). (Рис. 9)

Рис. 9.

Итак, если , то линия у = f (х) имеет асимптоту х = х₀.

Нахождение вертикальной асимптоты равносильно нахождению точки разрыва ІІ рода функции у = f (х).

Невертикальные асимптоты.

а) Наклонные асимптоты.

Пусть кривая у = f (х) имеет наклонную асимптоту y = kx + b. Определим числа k и b. Сделаем чертеж. (Рис. 10)

Рис. 10.

На чертеже:   угол наклона асимптоты,

MN = у  ордината точки кривой,

КN =  ордината точки асимптоты.

, .

По определению асимптоты . Докажем, что .

Рассмотрим  КМР. В нем  КМР =  (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами),

, cos  = const.

.

Имеем (*), т.е. если , то линия f (х) имеет асимптоту y = kx + b.

Вопрос о существовании наклонной асимптоты сводится к вопросу о существовании предела (*). Найдем, при каких k и b предел (*) существует.

По теореме о пределах:

f (х) – (kx + b) = 0 +  = .

f (х) = kx + b + .

Разделим на х.

.

При х   , . .

Итак,

Знак k, можно определить b из (*).

.

Вывод. Если при х   стремится к конечному пределу k и если f (x) – kx при х   стремится к конечному пределу b, то линия у = f (x) имеет асимптоту у = kx + b.

Если хотя бы один из указанных пределов не существует, то линия у = f (x) наклонных асимптот не имеет. Следует рассматривать случаи как при х  +, так и при х  .

б) Горизонтальные асимптоты.

Горизонтальные асимптоты – частный случай наклонных асимптот.

Если функция у = f (x) стремится к конечному пределу с при х  : , то линия

у = f (x) имеет горизонтальную асимптоту, параллельную оси Ох, у = b. (k = 0).

Рассмотрим примеры на нахождение асимптот заданных линий.

Пример 1. . D (у) = (;3)  (3; +).

х = 3 – точка разрыва функции у.

Определим характер разрыва. Для этого найдем левосторонний и правосторонний пределы функции.

.

х = 3 – точка разрыва ІІ рода.

х = 3 – вертикальная асимптота.

Ищем наклонную асимптоту (если она есть) у = kх + b,

, .

, k = 0.

Наклонной асимптоты нет.

, b = 1.

у = 1 – горизонтальная асимптота. Сделаем схематичный чертеж (Рис. 11).

Рис. 11.

Пример 2. D (у) = (;+).

Точек разрыва нет. Поэтому нет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты.

у = kх + b, где

; .

;

.

.

.

.

Получаем две наклонные асимптоты.

у = х, у = х.

Делаем схематичный чертеж (Рис. 12).

п ри х = 0 у = 1.

(0; 1) – точка пересечения кривой с осью Оу.

Рис. 12.