§ 6. Достаточный признак существования точки перегиба.

Чтобы выяснить, когда точка х₀ будет являться абсциссой точки перегиба, нужно знать, меняет ли вторая производная знак при переходе через эту точку. Ответ на это дает достаточный признак существования точки перегиба.

Достаточный признак существования точки перегиба (3.6).

Пусть кривая задана уравнением у = f (х). Если вторая производная f  (х₀) = 0 или не существует и при переходе аргумента х слева направо через х₀ вторая производная f  (х) меняет знак, то х₀ – абсцисса точки перегиба.

3.6. Достаточный признак существования точки перегиба (адрес файла Блок 4 ____ ). Пусть кривая задана уравнением у = f (х). Если вторая производная f  (х0) = 0 или не существует и при переходе аргумента х слева направо через х0 ворая производная f  (х) меняет знак, то х0 – абсцисса точки перегиба. Вернитесь к тексту

Доказательство.

Пусть в точке х₀ f  (х₀) = 0 или не существует и при переходе аргумента х слева направо через точку х₀ вторая производная f  (х) меняет знак с «» на «+». Это значит, что слева от х₀ кривая выпуклая, а справа от х₀ кривая вогнутая. По определению точки перегиба х₀ – абсцисса точки перегиба. Если же вторая производная f  (х) меняет знак с «+» на «», то слева от х₀ кривая вогнутая, а справа кривая выпуклая; х₀ – абсцисса точки перегиба. Что требовалось доказать. Это можно показать в таблице.

Знаки f  (х) при переходе через х0			Характер точки х0
х  х0	х = х0	х  х0
	f  (х0) = 0 или не существует	+	х0  абсцисса точки перегиба
+	 “ 		х0  абсцисса точки перегиба
+	 “ 	+	Точки перегиба нет
	 “ 		Точки перегиба нет

Пример 1. Найти точки перегиба кривой у = х³  3х²  9х + 11.

Решение. D (; +).

у = 3х²  6х  9; у = 6х  6. Находим критические точки.

у = 0, 6х  6 = 0, 6 (х  1) = 0, х = 1.

Т очкой х = 1 разобьем область определения на два интервала и определим знак второй производной в каждом из интервалов. Для этого выбираем любое число из интервала и подставляем в выражения для у.

(; 1): у  0, у 

(1; +): у  0, у 

х = 1 – абсцисса точки перегиба.

у (1) = 1 – 3 – 9 + 11 = 0.

Ответ: (1; 0) – точка перегиба.

Пример 2. Найти точки перегиба кривой у = х + 36х² – 2х³ – х⁴.

Решение. D (; +).

у = 1 + 72х – 6х² – 4х³; у = 72 – 12х – 12х².

Находим критические точки ІІ рода.

у = 0, 72 – 12х – 12х² = 0

х² + х – 6 = 0,

х₁ = 3, х₂ = 2 (по теореме Виета)

Р азбиваем D (у) на три интервала.

(; 3): у  0, у 

(3; 2): у  0, у 

(2; +): у  0, у 

х = 3 и х = 2 – абсциссы точек перегиба.

у (3) = 3 + 324  54  81 = 186,

у (2) = 2 + 144  16 16 = 114.

Ответ: (3; 186) и (2; 114)  точки перегиба кривой.