§ 3. Достаточный признак выпуклости и вогнутости кривой.

Пусть дана кривая y = f (х), где f (х) дважды дифференцируемая функция, на интервале

(а; b).Установим достаточный признак для выпуклости и вогнутости кривой на интервале.

Достаточный признак выпуклости и вогнутости кривой (3.3).

Если вторая производная f  (х) всюду в интервале (а; b) отрицательна, то кривая y = f (х) на этом интервале выпуклая.

Если вторая производная f  (х) всюду в интервале (а; b) положительна, то кривая y = f (х) на этом интервале вогнутая.

3.3. Достаточный признак выпуклости и вогнутости кривой (адрес файла Блок 4 ____ ). Если вторая производная f  (х) всюду в интервале (а; b) отрицательна, то кривая y = f (х) на этом интервале выпуклая. Если вторая производная f  (х) всюду в интервале (а; b) положительна, то кривая y = f (х) на этом интервале вогнутая. Вернитесь к тексту

Доказательство.

Кривая задана уравнением y = f (х), где f (х) дважды дифференцируемая функция на (а; b). Пусть вторая производная f  (х) < 0. Это означает, что f  (х) (функция, от которой взята вторая производная) убывает – по достаточному признаку убывания функции. Т.к. f  (х) = tg , то тангенс угла наклона касательной к кривой убывает. А это значит, что угол наклона  убывает. Следовательно, кривая лежит над своей касательной. Кривая выпуклая на (а; b).

Что требовалось доказать.

П ояснение на Рис. 3.

у

Рис. 3.

Аналогично доказывается случай, когда f  (х)  0. В этом случае кривая на (а; b) будет вогнутая.

Примеры.

1. у = е^х;

D (у) = (; +).

у = е^х, у = е^х. у для всех х положительна. Кривая у = е^х всюду вогнутая (Рис. 4).

Рис. 4.

2. у = 1  х²; D (у) = (; +).

у  = 2х; у = 2  0 для всех х. Кривая всюду выпуклая (Рис. 5).

Рис. 5.

3. у = х³; D (у) = (; +).

у = 3х²; у = 6х.

а) у  0, б) у  0,

6х  0, 6х  0,

х  0, х  0,

х  (0; +) – интервал х  (–; 0) – интервал

в огнутости кривой выпуклости кривой. (Рис. 6)

Рис. 6.

§ 4. Точка перегиба.

Особую роль играют точки на линии, отделяющие выпуклую часть кривой от вогнутой. Они называются точками перегиба.

Точка перегиба (3.4).

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

3.4. Точка перегиба (адрес файла Блок 4 _____ ). Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. Вернитесь к тексту

В точке перегиба касательная пересекает кривую. В окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

§ 5. Необходимый признак существования точки перегиба.

Кривая задана уравнением у = f (х), где f (х) дважды дифференцируемая функция.

Необходимый признак существования точки перегиба (3.5).

В точке перегиба вторая производная f  (х) либо равна нулю, либо не существует.

3.5. Необходимый признак существования точки перегиба (адрес файла Блок 4 ___ ). В точке перегиба вторая производная f  (х) либо равна нулю, либо не существует. Вернитесь к тексту

Доказательство.

Действительно, если бы в точке перегиба f  (х) была положительна, то кривая в этой точке была бы вогнутой; если бы в точке перегиба f  (х) была отрицательной, то кривая в этой точки была бы выпуклой. Но по определению точка перегиба отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой. Поэтому для точки перегиба остаются два возможных случая: либо f  (х) = 0, либо f  (х) не существует. Что требовалось доказать.

Точки, в которых f  (х) = 0 или не существует называются критическими точками ІІ рода.