ПМ. ИФПП – 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА ВЫПУКЛОСТЬ,
ВОГНУТОСТЬ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЯ ЕЕ ГРАФИКА.
ПМ. ИФПП – 3. Ключевые слова и понятия.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Необходимый признак выпуклости и вогнутости кривой.
Достаточный признак выпуклости и вогнутости кривой.
Точка перегиба.
Необходимый признак существования точки перегиба.
Достаточный признак существования точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Схема полного исследования функций и построение графиков.
3.1. Входная информация для самоконтроля.
Приступая к изучению данной темы, Вам необходимо восстановить в памяти (или восполнить) знания из прошлых периодов обучения:
из курса средней школы: метод интервалов, решение линейных и квадратных уравнений, теорема Виета;
из курса прикладной математики: определение производной (1.2 ПМ. ДИФОП–1), геометрический смысл производной (1.2 ПМ. ДИФОП–1), производная ІІ порядка (7.6 ПМ. ДИФОП – 7), правило дифференцирования алгебраической суммы (1.7 ПМ. ДИФОП–1), правило дифференцирования произведения (1.8 ПМ. ДИФОП–1) ,правило дифференцирования частного (1.9 ПМ. ДИФОП–1), таблица правил дифференцирования и производных основных элементарных функций (2.10 ПМ. ДИФОП–2).
3.2. Содержание темы
3.2.1. Структурно-логическая схема содержания темы
3.2.2. Тематическое содержание.
§ 1. Выпуклость и вогнутость кривой.
Дадим определения выпуклой и вогнутой кривой на данном интервале.
Выпуклость и вогнутость кривой (3.1).
Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а; b), если все точки кривой лежат ниже ее касательной на этом интервале.
Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (а; b), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.
Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклость вниз – вогнутой.
3.1. Выпуклость и вогнутость кривой (адрес файла Блок 4 ____ ). Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а; b), если все точки кривой лежат ниже ее касательной на этом интервале. Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (а; b), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклость вниз – вогнутой. Вернитесь к тексту |
Графически это выглядит так: Рис. 1 – функция выпукла, Рис. 2 – функция вогнута.
х
§ 2. Необходимый признак выпуклости и вогнутости кривой.
Для исследования графика функции на выпуклость и вогнутость используют необходимый признак выпуклости и вогнутости кривой.
Необходимый признак выпуклости и вогнутости кривой (3.2).
Если дуга кривой y = f (х) выпуклая на интервале (а; b), то вторая производная f (х) на этом интервале неположительна: f (х) 0.
Если дуга кривой y = f (х) вогнутая на интервале (а; b), то вторая производная f (х) на этом интервале неотрицательна: f (х) 0.
3.2. Необходимый признак выпуклости и вогнутости кривой (адрес файла Блок 4 ____ ). Если дуга кривой y = f (х) выпуклая на интервале (а; b), то вторая производная f (х) на этом интервале неположительна: f (х) 0. Если дуга кривой y = f (х) вогнутая на интервале (а; b), то вторая производная f (х) на этом интервале неотрицательна: f (х) 0. Вернитесь к тексту |
Доказательство.
Пусть дуга кривой y = f (х), где f (х) дважды дифференцируемая функция, выпуклая на интервале (а; b). По определению выпуклой кривой все касательные к кривой на интервале (а; b) лежат над ней. При перемещении точки касания слева направо угловые коэффициенты касательной уменьшаются, т.е. f (х) будет уменьшаться. Следовательно, интервал (а; b) интервал убывания f (х).
Если функция убывает, то ее производная неположительна, т.е. f (х) 0, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается для вогнутой дуги на интервале (а; b): f (х) 0.