2.3. Пересечение поверхностей

Упражнение № 3. «Пересечение поверхностей»

Построить проекции линии пересечения поверхностей.

Определить видимость линии пересечения и сторон поверхностей относительно друг друга.

Содержание работы. На двух заданных проекциях попарно взаимно пересекающихся поверхностей построить проекции их линий пересечения и определить видимость. М1:1. Задание по вариантам для всех трех задач для удобства расположено в данном сборнике на одном чертеже (таблица 4 приложение 1).

Пример: Построить проекции линии пересечения поверхностей. В качестве центральной поверхности взята поверхность прямого кругового конуса (рис. 16).

В результате получим три задачи:

Задача №1 - построение линии пересечения проецирующей поверхности с поверхностью общего положения.

Задача №2 - построение линии пересечения поверхностей общего положения с параллельными осями (способ вспомогательных секущих плоскостей).

Задача №3 - построение линии пересечения поверхностей вращения общего положения с пересекающимися осями (способ концентрических сфер).

Рис. 16

2.3.1. Построение линии пересечения поверхностей одна, из которых проецирующая

Если одна или обе заданные поверхности занимают проецирующее положение, то решение задачи упрощается из-за того, что одна из проекций линии пересечения будет совпадать со следом проецирующей поверхности, которая входит в условие задачи. Решение сводится к определению недостающей проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна ее проекция и указаны проекции поверхности.

Задача 1. Построить проекции линии пересечения поверхности прямого кругового конуса h с поверхностью прямого кругового цилиндра g (рис. 17).

Рис.17

Решение:

1. g П₂, следовательно фронтальная проекция линии пересечения совпадет с фронтальной проекцией очерка g (g ₂).

2. Горизонтальная проекция линии пересечения определяется из условия принадлежности линии поверхности.

2.3.2. Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей

Сущность способа состоит в том, что заданные поверхности пересекают третьей, вспомогательной поверхностью и находят линии, по которым вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из заданных поверхностей.

Построение линий пересечения начинают с определения опорных точек. Опорными называются точки, определяющие особые, характерные свойства линии пересечения и ее проекций. К ним относят:

1) точки, лежащие в общих плоскостях симметрии;

2) точки, лежащие на контурах поверхностей;

3) точки экстремума (крайние верхние, крайние нижние, крайние правые, крайние левые и т.д.) линии пересечения.

Алгоритм решения:

Рис. 18

1. Определяются опорные точки. Это экстремальные точки (удаленные на максимальное и минимальное расстояния от плоскостей проекций) и точки, расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые определяют границы видимости проекций кривой.

2. Между опорными точками проводится плоскость-посредник , (рис.18).

3.Строятся линии пересечения проведенной плоскости–посредника с поверхностями – окружности (параллели).

 ∩ Ψ=m;  ∩ Φ = n

4. Определяются точки пересечения построенных параллелей. m∩ n = A-B

5. Проводится еще ряд плоскостей-посредников ^/, ^//между опорными точками, и все построения повторяются. Количество плоскостей-посредников зависит от требуемой точности построения линии пересечения.

6. Полученные точки А, В, С и т.д. принадлежат обеим поверхностям одновременно, следовательно, принадлежат искомой линии пересечения. Точки соединяются плавной кривой с учетом их видимости.

Задача 2. Построить проекции линии пересечения поверхностей прямого кругового конуса α с сферы β(рис. 19).

Рис. 19

Решение:

Шаг 1. В качестве секущих плоскостей используем горизонтальные плоскости уровня, пересекающие обе поверхности по окружностям.

Шаг 2 Построения начинаем с опорных точек, не требующих дополнительных построений для их нахождения. К ним относятся точки А – высшая и В – низшая точки сечения (рис.20), лежащие в плоскости Δ и принадлежащие очерковым образующим конуса и сферы на П₂ – А₂ и В₂. На плоскости проекций П₁ – А₁ и В₁ находим с помощью линии связи. Эти точки устанавливают границы, в которых следует проводить вспомогательные плоскости.

Рис. 20

Рис.21

Шаг 3. Определим точки С и С′ – точки пересечения экватора сферы с поверхностью конуса. Для этого проведем плоскость Г, которая пересекает сферу по экватору m, конус – по параллели n. Окружности m и n, пересекаясь, определяют горизонтальные проекции точки С₁ и С₁′. Фронтальные проекции этих точек находятся на фронтальном следе секущей плоскости Г2. Горизонтальные проекции точки С (С₁ и С₁′) разграничивают горизонтальную проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части (рис.21).

Рис.22

Шаг 4. Промежуточные точки определим с помощью плоскости Σ, которая пересекает сферу по окружности t′, конус – по окружности l′. Пересекаясь, эти окружности дают пару точек D и D′, принадлежащих линии пересечения поверхностей. Количество секущих плоскостей зависит от требуемой точности построения (рис.22).

Шаг 5. Найденные точки соединяем плавной кривой линией c учетом видимости точек. Определяем видимость поверхностей (рис23.).

Рис.23