2.1. Пересечения прямой линии с плоскостью

Прямая пересечет плоскость только в одной точке.

Для построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения надо выполнить следующее:

1. Через заданную прямую провести некоторую вспомогательную плоскость;

2. Построить прямую пересечения заданной плоскости со вспомогательной;

3. Определить положение точки пересечения прямых – данной и построенной.

Задача № 1. По координатам точек вершин построить проекции треугольника Δ АВС и точки D . Определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником Σ(∆АВС); определить видимость перпендикуляра, проходящего через точку D и плоскость треугольника Σ (∆ АВС).

Решение:

Шаг 1. По координатам точек, взятым из таблицы 1 приложения 1, строим проекции плоскости треугольника Σ(∆ АВС) и точки D.

Рис. 8

Шаг 2. Для определения направления проекции перпендикуляра проводим проекции горизонтали h и фронтали f (рис.8).

Шаг 3. Исходя из условия перпендикулярности прямой и плоскости, проводим из точки D прямую t перпендикулярную Σ (∆ АВС). t (h ∩ f)  Σ (∆ АВС); (t₁ h_1; t₂ f ₂) (рис.9).

Рис. 9

Шаг 4. Для определения основания перпендикуляра точки К:

1. Через прямую t(t₂) проводим вспомогательную плоскость Θ (Θ₂).

2. Определяем линию пересечения заданной плоскости Σ(∆ АВС) и вспомогательной плоскости Θ: (Σ (∆ АВС) ∩ Θ=(1-­2)).

3. Определяем положение точки К пересечения прямых – данной t и построенной (1­-2); (t∩(1­-2)=К).

4. Методом конкурирующих точек определяем видимость отрезка прямой DК относительно Σ(∆ АВС)) (рис.10).

Рис.10

Шаг 5.Определяем натуральную величину отрезка прямой DК методом прямоугольного треугольника (рис.11).

Рис.11

2.2. Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, таким образом необходимо найти только две точки, принадлежащие ей.

Задача № 2.

По координатам точек вершин построить проекции двух непрозрачных плоскостей, заданных треугольником Σ(Δ АВС) и четырехугольником Θ(ЕFQH). Достроить недостающие координаты точек четырехугольника ЕFQH. Определить проекции линии пересечения и видимость сторон плоскостей относительно друг друга.

Рис.12

Шаг 1. По координатам точек, взятым из таблицы 2а,б приложения 1, строим проекции плоскости треугольника (∆ АВС) и четырехугольника Θ( ЕFQH).

Шаг 2. Недостающую проекцию точки Н строим по условиям принадлежности точки плоскости (рис.12).

Рис.13

Шаг 3. Две плоскости пересекаются по прямой линии, для определения которой необходимо и достаточно знать положение двух ее точек, следовательно требуется провести две вспомогательные плоскости.

1. Отрезок АВ, плоскости S(∆ АВС) заключаем в фронтально-проецирующую плоскость Λ (Λ₂). Определяем линию пересечения плоскости Θ( ЕFQH) с вспомогательной плоскостью Λ - линия (1-2). Там где горизонтальная проекция лини (1₁­-2₁) пересечет горизонтальную проекцию линии А₁В _1, определим горизонтальную проекцию М₁ точки М. Затем в проекционной связи определим ее фронтальную проекцию М₂ (рис.13).

Рис.14

2. Отрезок ВС, плоскости Σ(∆ АВС) заключаем в фронтально-проецирующую плоскость Ω(Ω₂). Определяем линию пересечения плоскости Θ( ЕFQH) с вспомогательной плоскостью Ω - линия (3­-4). Там где горизонтальная проекция лини (3₁­-4₁) пересечет горизонтальную проекцию линии В1 С 1, определим горизонтальную проекцию N1 точки N. Затем в проекционной связи определим ее фронтальную проекцию N₂ (рис.14).

3. Соединяя одноименные проекции точек М и N, выстраиваем линию пересечения плоскостей Σ(Δ АВС) и Θ( ЕFQH) (рис.14).

Рис.15

4. Определяем видимость отсеков плоскостей Σ(Δ АВС) и Θ(ЕFQH), применяя метод конкурирующих точек (рис.15).