3.1. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной отрезка перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые.

С помощью преобразования ортогональных одну из скрещивающихся прямых переводят в проецирующее положение. В этом случае одна проекция прямой вырождается в точку (рис.28). Отсюда вытекает алгоритм решения:

1. Преобразовать прямую m (или l) в проецирующую прямую способом замены плоскостей проекций.

2. Построить проекцию [M₅N₅] отрезка [MN] на плоскость П₅⊥m, длина которой определяет искомое расстояние.

Решение:

При помощи двойной замены плоскостей проекций прямая m преобразована в проецирующую, построены проекции l₄ и l₅ прямой l и проекция [M₅N₅] отрезка [MN]. Величина [M₅N₅] является искомым расстоянием.

Рис.28

Задача №1. Определить кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми СВ и AS (рис. 29).

Рис.29

Решение:

Шаг1 Задача решается способом замены плоскостей проекций (рис. 30). Плоскость проекций П₂ заменяем на П₄. Прямая СВ является прямой уровня (горизонталью), следовательно П₄ располагаем перпендикулярно СВ (П₄⊥ С₁В₁). СВ|| П₁, СВ ⇒ П₁⊥П₄.

Рис.30

Шаг 2. В новой системе плоскостей проекции П₁/П₄ из точки А₁ проводится перпендикуляр к оси х _1,4 (рис. 30). Из каждой проекции точки А₁, B₁, C₁, S₁ проводятся линии связи, перпендикулярные оси х_1,4. На них от оси х_1,4 откладываются расстояния, соответственно равные расстоянию от оси х_1,2 до фронтальной проекции каждой точки.

Шаг 3. Отрезок CВ выродился в точку С₄ ≡ В₄ (рис.31), из которой проводится перпендикуляр на проекцию А₄S₄. Отрезок KN определяет расстояние между двумя скрещивающими отрезками BC и AS.

Рис.31

Шаг 4. Построение проекций [К₄N₄], [К₁N₁], [К₂N₂] отрезка [КN] выполняется обратным преобразованием.

3.2. Определение натуральной величины двугранного угла

Мерой угла между плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми–сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру (рис.31).

Рис.32

На рис.32 показано определение двугранного угла, образованного плоскостями Λ (АВС) и  (ВАD), когда ребро (АВ) искомого угла задано. Задача решена преобразованием ребра (АВ) в проецирующую прямую. При таком преобразовании общее ребро двугранного угла «вырождается» в точку, а грани угла – в линии. Угол между линиями является искомым двугранным углом. При построении, как правило используется способ замены плоскостей проекций.

Задача 2. Определить натуральную величину двугранного угла при ребре АS.

Решение:

Шаг 1. По заданным координатам точек строятся проекции двухгранного угла с учётом видимости рёбер (рис.33). Видимость определяется способом конкурирующих точек.

Рис.33

Шаг 2. Вводится дополнительная плоскость проекций П₄ перпендикулярно к П₁, чтобы ребро AS стало прямой уровня относительно П₄. Из каждой точки А₁, B₁, C₁, S₁ проводятся линии связи, перпендикулярные оси х_1,4. На них от оси х_1,4 откладываются расстояния, соответственно равные расстоянию от оси х_1,2 до фронтальной проекции каждой точки (рис. 34).

Рис.34

Шаг 2. Для того чтобы ребро AS стало проецирующим, вводится дополнительная плоскость проекций П₅ перпендикулярно к П₄ (рис.35). Из каждой точки А₄, B₄, C₄, S₄ проводятся линии связи, перпендикулярные оси х_4,5. На них от оси х_4,5. откладываются расстояния, соответственно равные расстоянию от оси х_1,4 до горизонтальной проекции каждой точки Ребро AS выродилась в точку А₅ ≡ S₅, а грани отобразились прямыми линиями, угол между которыми и есть искомый двухгранный угол при ребре. AS.

Рис.35