13) . Миттєве та середнє за період значення густини потоку енергії те мод в напрямку ортогональному до сталої розповсюдження.

Виходячи з рівнянь максвела та обмеженості середовища по координаті х отримаємо систему рівнянь

А з неї рівняння Гельмгольца для ТЕ - хвиль:

;

Така хвиля має компоненти . Візьмемо шуканий розв’язок для електричного поля у вигляді . Використоавуючи систему рівнянь для ТЕ – хвилі, компоненти магнітного поля запишуться автоматично:

Оскільки шуканий напрямок є вісь z то шуканий вектор пойтінга

Це миттєве значення енергії, що переноситься через одиницю площі хвилеводу в напрямку ортогональному поширенню моди. Прийнявши до уваги, що усереднення за період синуса подвійного кута дасть 0, то отримаємо

14)Зсув фаз між власними хвилями в електрооптичному кристалі на нвч частотах.

Для опису електрооптичного ефекту можна скористатися оптичною індикатрисою, що дозволяє визначити ортогонально поляризовані власні хвилі в кристалі для заданого напрямку хвильової нормалі (рис. 1).

У кристалі існують три ортогональні кристалографічні вісі х₁, х₂, х₃, які пов’язані з його кристалічною граткою. У вихідному положенні, коли електричне поле дорівнює нулю, оптична індикатриса ніобату літію є еліпсоїдом обертання навколо оптичної вісі, вздовж якої розповсюджується лазерний промінь, не зазнаючи двопроменезаломлення (переріз індикатриси площиною, в якій лежать вектори світла Е_св довільної поляризації, є коло (див. рис. 1) ).

Р ис. 1 Оптична індикатриса.

Вказані на рисунку півосі еліпсоїда х₁, х₂, х₃ по своїй величині дорівнюють показникам заломлення n₁, n₂, n₃. Наприклад, коли електричний вектор лазерного променя орієнтований вздовж х₁, то він розповсюджується в кристалі в площині х₂, х₃ із швидкістю с/n₁. При прикладанні електричного поля (в нашій роботі вздовж вісі х₂), еліпсоїд індикатриси деформується і стає триосним. Він або стискається по вісі х₂, або, навпаки, розтягується при зміні знака поля. Переріз індикатриси, в площині якої лежить вектор Е_св, із кола перетворюється в еліпс, і для лазерного променя, що розповсюджується вздовж кристалографічної вісі х₃ (яка вже не є оптичною віссю) виникає ефект двопроменезаломлення, тобто довільна поляризація збуджує в кристалі дві власні хвилі, поляризовані вздовж індукованих осей в кристалі – осей еліпса, який утворився із кола. Для нашого випадку при прикладенні електричного поля вздовж вісі х₂ індуковані вісі співпадають з кристалографічними, але якщо б ми приклали поле вздовж вісі х₁, то коло почало б деформуватись в еліпс, вісі якого, так звані індуковані вісі та , були б розгорнуті під кутом 45⁰ відносно кристалографічних х₁ та х₂, і власні хвилі мали б поляризацію вздовж цих індукованих осей ( рис. 2 )

.

Рис. 2 Модулююче поле E_m прикладене по х₁.

Визначати власні хвилі звичайною та незвичайною хвилею, як прийнято в анізотропній оптиці, не має сенсу, тому що при зміні знака поля в наступний напівперіод сигналу звичайна хвиля стає незвичайною і навпаки. Згідно визначенню, вектор D звичайної хвилі коливається перпендикулярно до головної площини, в якій лежать променевий вектор s та оптична вісь, а вектор D незвичайної хвилі коливається в головній площині [3, с. 746]. Швидкості розповсюдження звичайної та незвичайної хвиль у кристалі без прикладання модулюючого поля визначаються їх показниками заломлення n_o та n_e.

Так як х₁, х₂, х₃ – головні вісі тензора діелектричної проникності, то рівняння оптичної індикатриси має вигляд триосного еліпсоїда:

(1)

де n_i – головні показники заломлення, які дорівнюють величинам півосей еліпсоїда, i = 1,2,3. Рівняння (1) можна переписати у вигляді:

B₁x₁² + B₂x₂² + B₃x₃² =1,

або в більш загальному вигляді:

B_ijx_ix_j=1 (2)

де B_ij – компоненти симетричного тензора другого рангу.

У зовнішньому електричному полі компоненти тензора B_ij можуть змінюватися, спричинюючи відповідні зміни оптичної індикатриси. Нехтуючи малими змінами порядку вище першого, зміни компонентів тензора можна записати у вигляді:

ΔB_ij = r_ijkE_k + p_iklmU_lm= (r_ijk + p_iklmd_lmk)E_k , (3)

де r_ijk – тензор третього рангу, що визначає електрооптичний ефект, p_iklm – тензор пружньооптичних коефіцієнтів, U_lm – тензор деформації, d_lmk – п’єзоелектричні коефіцієнти.

У (3) перший доданок визначає справжній електрооптичний ефект, тобто без додаткового пружньооптичного вкладу. Для вільного кристалу ефект буде сумарним. У даній роботі використовується затиснутий кристал, тому другий доданок буде значно малим, яким можна знехтувати, тому далі будемо розглядати тільки вклад справжнього електрооптичного ефекту.

Для тензора r_ijk два перші індекси поєднують в один, який пробігає значення від 1 до 6.

Для кожного кристалографічного класу є певне число відмінних від нуля та незалежних компонентів тензора r_ij, яке обумовлене симетрією кристалу. Для випадку ніобату літію (LiNbО₃, клас симетрії 3m) маємо r₁₃= r₂₃, r₃₃, r₄₁= r₅₁, r₂₂= –r₁₂= –r₆₁ і тензор r_ij приймає наступний вигляд:

(4)

Підставляємо (4) в (3) для одержання тензора зміни поляризаційних констант ΔB_ij:

(5)

Остаточно, матриця тензора B_ij буде мати вигляд:

(6)

У випадку прикладання електричного поля вздовж вісі x₂, тобто E₁=E₃=0, E₂≠0, матриця змін ΔB_ij приймає вигляд:

(7)

Відповідно, матриця В_ij буде мати вигляд:

(8)

Підставляючи нові коефіцієнти з (8) в (2), одержуємо нове рівняння індикатриси:

(9)

У цьому випадку одноосний кристал ніобату літію стає двоосним, і у загальному рівнянні з’являються елементи другого порядку малості , якими ми знехтували і отримали рівняння (9).

Згідно з (1)

. (10)

Зміна показника заломлення:

(11)

З урахуванням того, що електрооптичні зміни дуже малі n_i = n₀  n_i  n₀ (110^-4), замінюємо на та з урахуванням (7) отримуємо:

(12)

П ри зміні знака поля знаки при n_i міняються місцями ( рис. 3 )

Рис. 3 Поперечний переріз індикатриси для E_m х₂,

(n₁= = n_on₁, n₂= = n_on₂).

Різниця фаз між власними хвилями, поляризованими вздовж індукованих осей й , випливає з очевидного співвідношення:

. (13)

Підставляючи (12) в (13) одержуємо вираз для індукованого електричним полем зсуву фаз між власними хвилями:

, (14)

де l – довжина кристала, d – товщина кристала, V – напруга між електродами,

V= d·E₂.

Таким чином, на виході кристалу ми маємо дві ортогональні власні хвилі, зсув фаз між якими модулюється прикладеним електричним полем. Для перетворення фазової модуляції в амплітудну необхідно змусити ці дві модульовані хвилі проінтерферувати між собою. Так як хвилі з ортогональними поляризаціями не інтерферують, то треба звести їх поляризації в одну площину, що можна зробити, встановивши на виході кристалу поляризатор. Зрозуміло, що для максимального контрасту інтерференційної картинки амплітуди власних хвиль повинні бути рівними, що можна отримати двома способами. Перший – це лінійна вхідна поляризація, орієнтована під кутом 45⁰ до індукованих осей та кристалу, другий – циркулярна вхідна поляризація за допомогою платівки /4.