Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке a; b] функции , нужно:

1. Найти все критические точки, принадлежащие промежутку a; b], и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка a; b], т.е. найти и .

3. Сравнить все полученные результаты; наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на отрезке a; b]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.

Задание 35. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (3; 4).

Решение: 1. Найдем критические точки функции в промежутке (3; 4). Имеем ; решая уравнение , получим и . Эти точки принадлежат данному отрезку (3; 4).

Вычислим значения функции в критических точках:

2. Находим значения функции на концах отрезка: .

3. Сравнивая значения функции в критических точках и её значения на концах отрезка, заключаем, что у = 9 является наименьшим, а у = 40 – наибольшим значением функции на указанном отрезке.

Вогнутость и выпуклость. Точки перегиба

Если вторая производная функции на данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна – выпукла в этом промежутке (рис. 4).

у выпуклая

(a; f(a))

вогнутая

(a; f(a))

0 а 0 а х

Рис. 4

Задание 36. Исследовать на выпуклость и вогнутость кривую .

Решение: Найдем вторую производную: .

Так как вторая производная положительна для любого х, то кривая вогнута на всей области определения (; ).

Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

Правило нахождения точки перегиба:

1. Находят вторую производную исследуемой функции .

2. Находят все критические точки второго рода из области определения функции (точки, в которых производная второго порядка равна нулю).

3. Устанавливают знаки второй производной функции при переходе через критические точки второго рода. Изменение знака указывает на наличие точки перегиба.

4. Находят ординаты точек перегиба.

Задание 37. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривую .

Решение: . Из уравнения находим х = 2. Если , то , следовательно, в интервале (; 2) кривая выпукла. Если , то , значит, в интервале (2; ) кривая вогнута. Итак, при переходе через х = 2 вторая производная меняет знак (с минуса на плюс). Следовательно, кривая имеет точку перегиба, абсцисса которой равна 2.

Подставляя в уравнение кривой х = 2, найдем ординату точки перегиба: . Итак, (2; 12) – точка перегиба.