Исследование функции на экстремум с помощью первой производной

Если х = а - точка экстремума функции , то касательная (в том случае, когда она существует) к графику этой функции в точке параллельна оси 0х (рис. 2).

	у максимум
	минимум
	0 а b х
	Рис. 2

Правило нахождения точек экстремума:

1. Находят производную .

2. Находят все критические точки из области определения функции.

3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

4. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.

Задание 33. Исследовать на экстремум функцию: .

Решение: 1. Находим производную: .

2. Приравниваем её нулю 2х = 0, откуда х = 0 – критическая точка.

3. Определяем знак производной при значении x < 0, например, при . Определяем знак производной при x > 0, например, при . Так как при переходе через х = 0 производная изменяет знак с минуса на плюс, при х = 0 функция имеет минимум.

4. Находим минимальное значение функции, т.е. . Теперь можно на чертеже изобразить вид кривой вблизи точки А(0;2) (рис. 3).

у

А(0;2)

0 1 х

Рис. 3

Задание 34. . Исследовать на экстремум, найти интервалы монотонности функции.

Решение: 1. Находим производную:

.

2. Находим критические точки: .

3. Исследуем знаки производной слева и справа от критической точки: .

Следовательно, при функция имеет минимум .

Результаты можно отразить в таблице:

х	(; 1)	1	(1; )
		0	+
у	убывает	уmin= 1/е	возрастает