Приращение функции. Дифференциал функции

Если аргумент функции изменяется от значения х до нового значения х₁, то разность этих значений называют приращением аргумента

х = х₁  х.

Сама функция при таком изменении аргумента принимает новое значение , т.е. получим приращение функции .

Задание 26. Найти приращения аргумента и функции у = 2х² + 1, если аргумент х изменяется от 1 до 1,02.

Решение: Находим приращение аргумента: х = 1,02  1 = 0,02.

Находим значение функции при старом значении аргумента, т.е. при х=1: у=21²+1=3. Находим значение функции при новом значении аргумента, т.е. при х = 1,02 .

Вычитая из нового первоначальное значение функции, найдем приращение функции: у = 3,0808  3 = 0,0808.

Главная часть приращения функции , линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком , дифференциал функции можно вычислить по формуле

где - приращение функции, dy – дифференциал функции, а при , .

Например, если , то , если , то .

приближенное значение приращения функции совпадает с её дифференциалом , что применяется для приближенных вычислений.

Пусть теперь дана функция , которая косвенно зависит от х через другую зависимую переменную и (например, или и подобные), т.е. - функция от функции, или сложная функция.

.

.

Например, для получим ; для получим .

Задание 27. Найти приращение и дифференциал функции в точке при х = 0,1.

Решение: Приращение функции

.

Приращение функции .

Найдем дифференциал функции , где х = dx.

Дифференциал функции равен dy = 0,4.

Задание 28. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции при изменении аргумента х от 5 до 5,01.

Решение: Находим .

При получим

.

Задание 29. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции её дифференциалом в точке при х = 0,1.

Решение:

;

;

;

.

Задание 30. С помощью дифференциала вычислить с точностью до 0,01 приращение функции при и х = 0,2.

Решение: Находим дифференциал данной функции:

.

При и х = 0,2 получим

.

Задание 31. Найти дифференциал функции .

Решение: По формуле .

Исследование функций и построение графиков

В интервалах и данная функция возрастает, а в интервале - убывает (рис. 1).

у
а	х2
	0 х1 х3 b x

Рис. 1.

Интервалы, на которых функция только возрастает или же только убывает, называются интервалами монотонности функции, а сама функция называется монотонной на этих интервалах.

Если производная функции положительна (отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Задание 32. Найти интервалы монотонности следующих функций: .

Решение: Находим производную данной функции: . Находим критические точки функции: . Область определения функции (; ) разбивается на интервалы (; 2) и (2; ).

На интервале (; 2) имеем ; например, . Следовательно, на интервале (; 2) функция убывает. На интервале (2; ) имеем ; например, . Значит, на интервале (2; ) функция возрастает.