Уравнение касательной и нормали к кривой

Угловой коэффициент k касательной к графику функции y = f(x) равен значению производной в точке касания k =

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

.

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

, где .

Задание 22. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение: Найдем значение функции при : .

Найдем производную данной функции: , вычисляем значение производной при , .

Подставив эти значения в формулы, получим уравнения касательной и нормали в точке .

Уравнение касательной: , откуда .

В данном случае касательная параллельна оси 0Х.

Уравнение нормали найдем не по формуле, а как уравнение прямой, перпендикулярной оси 0Х. Ее уравнение .

19а) Найти самостоятельно уравнение нормали и касательной к графику функции в точках пересечения с осью 0х.

Задание 23. Кривая задана уравнением . Определить угол наклона касательной к положительному направлению оси 0х, проведенной к кривой в точке с абсциссой .

Решение: Найдем производную: . Обозначив угол наклона касательной в точке с абсциссой через , получим (–2),

,

откуда   4 (или в градусной мере   45).

Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке х₀ равен значению производной функции y = f(x), вычисленной для х₀

.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой

.

Уравнение прямой где k – угловой коэффициент.

Задание 24. На кривой найти точку, в которой касательная: а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой .

Решение: Пусть искомая точка касания есть . Тогда, как известно, угловой коэффициент k касательной равен значению производной в точке касания, т.е.

.

Учитывая это, рассмотрим каждое из условий задачи.

а) Для того, чтобы касательная была параллельна прямой , их угловые коэффициенты должны совпадать, т.е. k = 2 или . Решая последнее уравнение относительно , получим: . Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в уравнение кривой, найдем значение её ординаты: . Итак, - искомая точка.

б) Из аналитической геометрии известно, что угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Так как угловой коэффициент прямой равен , то угловой коэффициент k искомой касательной равен –4, и мы имеем уравнение , откуда , т.е. . Соответственно находим . Следовательно, точка - искомая.

Механический смысл производной

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.

или .

Для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определенный момент времени нужно найти производную и подставить в неё соответствующее значение t.

Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. В этом и заключается механический смысл второй производной.

Задание 25. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент (s измеряется в метрах, t - в секундах).

Решение: Для определения скорости нужно найти первую производную данной функции при . Имеем

(м/с).

Ускорение равно второй производной функции при , т.е.

.

Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения , значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением

.