Задача 8

Случайная величина Х задана законом распределения:

	-2	0	1	2	3	6
	2/100	1/10	20/100	4/10	2/10	8/100

Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднеквадратическое отклонение

Решение:

Сначала проверим, равна ли сумма вероятностей всех значений 1:

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.

M(Х) = (2/100) × (-2) + (1/10) × (0) + (2/10) × (1) + (4/10) × (2) + (2/10) × (3) + (8/100) × (6) = 2.04

Дисперсию находим по формуле d = ∑x²_ip_i - M[x]².

D(X)= (2/100) × (-2)² + (1/10) × (0)² + (2/10) × (1)² + (4/10) × (2)² + (2/10) × (3)² + (8/100) × (6)²- =6.56-4.1616=2.3984

Среднее квадратическое отклонение σ(x). σ = = = 1.549

Введем прямоугольную систему координат ХОР и отметим в ней точки: 

(-2; 0,02), (0; 0,1), (1; 0,2), (2; 0,4), (3; 0.2) и (6; 0,08). Последовательно соединив их, построим многоугольник распределения.

Задача 9

Монета бросается 3 раза. Записать закон распределения случайной величины Х, равной количеству выпадений решки.

Решение

Возможные значения случайной величины : 0, 1, 2, 3, которые соответствуют количеству возможных выпадений решки (0 из 3 раз, 1 из 3, 2 из 3, 3 из 3).Соответствующие им вероятности:

P(0)=1/8 ; Р(1)=3/8; Р(2)=3/8; Р(3)=1/8

Закон распрделения СВ будет иметь вид:

xi	0	1	2	3
pi	1/8	3/8	3/8	1/8

∑p_{i = 1/8+3/8+3/8+1/8=1}

Введем прямоугольную систему координат ХОР и отметим в ней точки: 

(0;1/8), (1;3/8), (2;3/8), (3;1/8). Последовательно соединив их, построим многоугольник распределения.

Задача 10

В среднем за сутки на элеватор прибывает 10 грузовиков. Предполагается, что последовательность прибывающих грузовиков образует простейший поток событий. Найти вероятность того, что

А) в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет ровно 2 грузовика;

Б) в течение заданных 3 часов на элеватор не прибудет ни одного грузовика;

В) в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет не более 2 грузовиков;

Г) в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет больше 2 грузовиков.

Решение

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Простейшим потоком однородных событий называем всякий стационарный ординарный поток без последействия. Одной из характеристик потока случайных событий является его интенсивность – среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Пусть простейший поток событий имеет интенсивность λ, тогда вероятность появления k-событий за интервал времени t равен:

=

Исходя из этой формулы, находим:

А) λ=10/24=0.417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=1 (ч) ; k=2 (грузовиков)

= - вероятность того, что в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет ровно 2 грузовика.

Б) λ=10/24=0.417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=3 (ч) ; k=0 (грузовиков)

= 286 – вероятность, что в течение заданных 3 часов на элеватор не прибудет ни одного грузовика

В) λ=10/24=0.417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=1 (ч) ; k≤2 (грузовиков)

= + =0,659+0,275+0,057=0,991 – вероятность, что в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет не более 2 грузовиков

Г) λ=10/24=0.417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=1 (ч) ; k 2 (грузовиков)

=1- =1-0.991=0,009 – вероятность, что в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет больше 2 грузовиков.