Задача 4

Курс лекций состоит из 3 тем. Вероятность того, что студент успешно сдаст первую тему равна 0.12. Вероятность того, что он успешно сдаст каждую последующую тему больше предыдущей на 0.1. Найти вероятность того, что:

А) студент успешно сдаст все темы;

Б) студент не сдаст ни одной темы;

В) студент успешно сдаст ровно 1 тему;

Г) студент успешно сдаст по крайней мере одну тему;

Д) студент не сдаст по крайней мере одну тему.

Решение

Вероятность того, что студент успешно сдаст 1 тему равна 0.12 ; вторую тему – 0.22 ; третью тему – 0.32.

Вероятность того, что студент не сдаст 1 тему равна 0.88 ; вторую – 0.78; третью – 0.68 (Так как Сумма вероятностей противоположных событий равна единице)

А) Так как наши события независимы (появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет, и появление одного события не изменяет вероятности другого события). Воспользуемся Теоремой умножения для независимых событий

Теорема. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A)*P(B).

Р( )= Р( = 0,12*0,22*0,32=0.008448

Б) Аналогично :

Р( )= Р( = 0,88*0,78*0,68=0.466752

В) Вероятность что студент успешно сдаст ровно одну тему, означает что он сдаст одну и не сдаст две темы. Тогда вероятность будет равна сумме вероятностей успешной сдачи каждой из трех тем и не сдачи двух других :

Р( )= Р( = 0,12*0,78*0,68=0.063648

Р( )= Р( = 0,88*0,22*0,68=0.131648

Р( )= Р( = 0,88*0,78*0,32=0.219648

Р( )+ Р( )+ Р( )= 0.063648+0.131648+0.219648=0,414944

Г) Так как вероятность, что студент успешно сдаст по крайней мере одну тему - событие противоположное тому, что студент не сдаст ни одной темы, то эту вероятность вычислим:

Р( )=1- Р( )=1-0.466752=0,533248

Д) Так как вероятность, что студент не сдаст по крайней мере одну тему-событие противоположное тому, что студент успешно сдаст все темы, то эту вероятность вычислим:

Р( )= 1- Р( )= 1-0.008448=0.991552

Задача 5

Продукция завода производится в 4 цехах. 1й цех производит 5%; 2й – 15%; 3й – 25%; 4й – 55% от всей продукции завода. 1й цех выпускает бракованное изделие с вероятностью 0.083, 2й цех – с вероятностью 0.11, 3й цех – с вероятностью 0.11, 4й цех – с вероятностью 0.2.

А) Какова вероятность того, что выбранное наугад из всего объема выпущенной заводом продукции изделие окажется бракованным?

Б) Извлеченное наугад изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что это изделие было произведено во 2м цеху?

Решение

При решении данной задачи следует применить формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Формула полной вероятности:

Пусть событие A может наступить только с одним из n попарно несовместных событий , которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность можно переоценить, т.е. найти условные вероятности . Эта задача решается по формуле Байеса:

где вычисляется по формуле полной вероятности.

Пусть событие А=

Выдвигаем 4 гипотезы:

= ; Р( =0.05 ; Р( =0.083

= ; Р( =0.15; Р( =0.11

= ; Р( =0.25; Р( =0.11

= ; Р( =0.55; Р( =0.2

А) Вероятность того, что выбранное наугад из всего объема выпущенной заводом продукции изделие окажется бракованным:

Р(А) = 0.05*0.082+0.15*0.11+0.25*0.11+0.55*0.2=0.1581

Б) Вероятность того, что извлеченное наугад бракованное изделие было произведено во 2м цеху:

Р( = =0.1043643

Задача 6

По цели производится 15 выстрелов. Вероятность попадания в каждом выстреле равна 0,66. Какова вероятность того, что цель будет поражена ровно 2 раза?

Решение

Теорема: Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где . (Формула Бернулли)

Если цель поражена ровно 2 раза из 15, то:

(2) = = =0.000037

Задача 7

Вероятность выпуска бракованного изделия составляет 0.01. Какова вероятность того, что среди 1000 отобранных изделий:

А) не более 12 изделий окажется бракованных?

Б) количество бракованных изделий будет от 12 до 52?

Решение

1. Т.к. в событии, состоящем в том, что отобранные изделия окажутся бракованными: число испытаний (отбор 1000 изделий)-n велико, вероятность выпуска бракованного изделия-р мала, а посчитать требуется вероятность, что не более 12 изделий будут бракованные (не менее, чем 0 изделий и не более, чем 12 изделий) , то уместно будет использовать Интегральную теорему Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность события А равна (0 < р < 1), то вероятность, что событие А произойдет в серии из n-испытаний не менее, чем k₁ раз и не более k₂ раз приближенно равна:

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x'), где

- функция Лапласа (функция табулирована);

По условию нашей задачи:

n=1000; p=0.01;

Тогда: q=1-p=1-0.01=0.99;

=1000*0.01=10;

npq=1000*0.01*0.99=9,9.

Таким образом, вероятность того, что не более 12 изделий окажется бракованных равна:

P(A)= k 12) 0,2389+0,49931 0,73821

Б) Т.к. в событии, состоящем в том, что отобранные изделия окажутся бракованными: число испытаний (отбор 1000 изделий)-n велико, вероятность выпуска бракованного изделия-р мала, а посчитать требуется вероятность, что количество бракованных изделий будет от 12 до 52 (не менее, чем 12 изделий и не более, чем 52 изделия) , то следует снова использовать Интегральную теорему Лапласа.

По условию нашей задачи:

n=1000; p=0.01;

Тогда: q=1-p=1-0.01=0.99;

=1000*0.01=10;

npq=1000*0.01*0.99=9,9.

Таким образом, вероятность того, что количество бракованных изделий будет от 12 до 52:

P(Б)= k ) 0,2389 0,2611