Задание 9.
Пример 1. Решить графически ЗЛП:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;
Z = x1 + 2x2 → max.
Решение.
Записываем уравнения граничных прямых:
1) 2x1 + x2 = 10; 2) – 2x1 + 4x2 = 8; 3) 3x1 – 2x2 = 9.
Чтобы их построить, найдем по две точки для каждой прямой:
1) 2x1 + x2 = 10 2) – 2x1 + 4x2 = 8 3) 3x1 – 2x2 = 9
-
х1
х2
х1
х2
х1
х2
5
2
0
6
0
–4
2
0
1
3
–3
0
Выбираем удобный масштаб, ориентируясь на найденные точки.
Построим первую прямую (рис. 2). Она разбивает плоскость на две полуплоскости.
Найдем ту полуплоскость, точки которой удовлетворяют условию: 2x1 + x2 ≤ 10.
Для этого выбираем в качестве проверочной любую точку не лежащую на соответствующей граничной прямой. Удобно взять точку О(0,0). Подставляем координаты точки О в левую часть неравенства: 2x1 + x2 ≤ 10 и полученное значение сравниваем с правой частью. Получим:
2x1 + x2 = 2 ∙ 0 + 1 ∙ 0 = 0 < 10.
Рис.2
Координаты
точки О удовлетворяют неравенству.
Следовательно, искомой полуплоскостью
является та, в которой находится точка
О. Отмечаем ее стрелками, направленными
влево. Аналогично строим вторую и третью
прямые и определяем соответствующие
полуплоскости. В задаче имеются
ограничения: x1
≥ 0, и x2
≥ 0. Соответствующие им полуплоскости
тоже отмечаем стрелками (эти условия
определяют первую четверть). Областью
решений ЗЛП является пересечение всех
полуплоскостей – многоугольник ОАВСЕ.
Строим вектор
= (1, 2) и через начало координат – линию
уровня MP
.
Передвигая линию МР параллельно
самой себе в направлении вектора
,
находим точку максимума функции Z
– точку В. Ее координаты найдем,
решив систему уравнений:
В = (3,2;3,6).
Вычисляем: Zmax = Z(B) = x1 + 2x2 = 3,2 + 2 ∙ 3,6 = 10,4.
Ответ: Zmax = Z(B) = 10,4; В = (3,2;3,6).
Пример 2. Решить графически ЗЛП:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;
Z=2x1 + 5x2 → max и min.
Решение.
Построим граничные прямые:
1) 3х1 + 2х2 = 10 2) х1 + 5х2 = 12
х1 |
х2 |
|
х1 |
х2 |
0 2 |
5 2 |
2 12 |
2 0 |
и определим соответствующие полуплоскости. Область решений является неограниченной.
Строим вектор = (2, 5) и перпендикулярно ему линию уровня МР (рис.3). Из чертежа видим, что точкой минимума функции Z является точка В = (2; 2) и сверху функция Z не ограничена: Zmax → ∞.
Рис.3
Находим: Zmin = Z(B) = 2 ∙ 2 + 5 ∙ 2 = 14.
Ответ: Zmin = Z(B) = 14; В = (2; 2); Zmax → ∞.
Пример 3. Решить графически ЗЛП:
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0;
z = 4x1 – 4x2 → max.
Решение. Областью решений задачи является многоугольник ABCF (рис.4). Построим вектор = (4,- 4), проведем через начало координат линию уровня МР(Z = 0 или 4х1 – 4х2 = 0). Из чертежа видно, что линия уровня параллельна стороне CF (ее уравнение: х1 – х2 = 2), в этом же убеждаемся, сравнивая уравнения х1 – х2 = 2 и 4х1 – 4х2 = 0. Следовательно, своего максимального значения целевая функция Z достигает в двух вершинах многоугольника C и F и в любой точке отрезка CF.
x2
Рис.4
Координаты точек C = (9;7) и F = (4;2) найдем, решив соответствующие системы уравнений:
и
Найдем: Z(С) = 4∙9 – 4∙7 = 8; Z(F) = 4∙4 – 4∙2 = 8.
Максимальное значение функции Z:
Zmax =Z(С) = Z(F) = 8.
Из курса высшей математики знаем, что координаты любой точки Х*, принадлежащей отрезку СF, можно найти по формулам:
или
Например, задавая λ1 = 1/2 и λ2 = 1/2, получаем точку
и убеждаемся, что Z(E) = 4 ∙ 6,5 – 4 ∙ 4,5 = 8 = Zmax .
Ответ: Zmax = Z(X*) = 8.