Задание 7.

Даны вершины пирамиды АВСD. Требуется :

1.записать векторы , и в системе орт и найти модули этих векторов;

2.найти угол между векторами и ;

3.найти проекцию вектора на вектор ;

4.вычислить площадь грани ABC;

5.найти объем пирамиды ABCD.

А(7;2;6) B(11;6;4) C(9;13;-4) D(7;4;7)

Решение:

1. Произвольный вектор может быть представлен в системе орт формулой

(1)

где - координаты вектора . Если вектор задан точками и , то координаты вектора могут быть найдены по формулам: (2)

Используя формулы (2), вычисляем координаты векторов .

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется так:

(3)

Применяя (3) получаем модули найденных векторов:

2.Косинус угла между двумя векторами и равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей, т.е.

Известно, что тогда

=

3.Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора, на который проецируется.

4.Вычислить площадь грани АВС. Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Такая площадь равна модулю векторного произведения . Найдем это векторное произведение:

Теперь вычислим модуль этого произведения:

Значит, искомая площадь:

5.Объем пирамиды АВСD равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , как ребрах. Такой объем вычисляется как смешанное произведение трех векторов в виде определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов:

Задание 8

Даны координаты точек А,В,С. Требуется :

1.составить уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С;

2.составить канонические уравнения прямой АВ;

3.составить уравнение плоскости Q, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ ;

4.найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Q;

5.вычислить расстояние от точки С до прямой АВ.

А(6;2;8) B(10;4;4) C(7;1;4)

Решение:

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид:

В нашем случае это запишется так:

/(-6)

2. Прямая, проходящая через две точки пространства, может быть представлена каноническими уравнениями:

(1)

Для данной задачи прямая АВ имеет уравнение:

Сократим все знаменатели на 2, тогда окончательно получим:

3. Прямая АВ имеет координаты направляющего вектора .Плоскость Q проходит через точку С. Формула уравнения плоскости, проходящей через данную точку имеет вид:

(2)

Где – координаты нормального вектора плоскости. По условию прямая , поэтому координаты ее нормального вектора совпадают с координатами направляющего вектора прямой АВ. Учитывая формулу (2), получаем уравнение плоскости Q.

4.Найдем точку пересечения прямой АВ с плоскостью Q. Для этого уравнение прямой запишем в параметрической форме :

(3)

Эти значения подставим в уравнение плоскости Q и определим значение t.

Теперь находим координаты точки пересечения, подставляя значение в (3):

Р(8;3;6)

4. Вычислим расстояние от точки С до прямой АВ. Это будет расстояние между точками С и Р.