1. Розкладання періодичного сигналу в ряд фур’є

Розкладанню в ряди Фур'є піддаються періодичні сигнали.

Періодичним сигналом (струмом або напругою) називають такий вигляд дії, коли форма сигналу повторюється через деякий інтервал часу T, який називається періодом. Простою формою періодичного сигналу є гармонійний сигнал або синусоїда, яка характеризується амплітудою, періодом і початковою фазою. Всі останні сигнали будуть негармонійними або несинусоїдальними. Можна показати, і практика це доводить, що, якщо вхідний сигнал джерела живлення є періодичним, то і всі останні струми і напруга в кожній гілці (вихідні сигнали) також будуть періодичними. При цьому форми сигналів в різних гілках відрізнятимуться один від одного.

Існує загальна методика дослідження періодичних негармонійних сигналів (вхідних дій і їх реакцій) в електричному ланцюзі, який заснований на розкладанні сигналів в ряд Фур'є.

Періодичну функцію будь-якої форми, задану на інтервалі одного періоду , і що задовольняє на цьому інтервалі умовам Дирихле:

• не повинно бути розриву 2-го роду (з відходами в нескінченність гілками функції);

• число розривів 1-го роду (стрибків) повинно бути кінцевим;

• число екстремумів повинно бути кінцевим.

Будь-який періодичний сигнал може бути представлений рядом Фур'є в тій або іншій формі запису: тригонометричним рядом, вираженим через коефіцієнти, тригонометричним рядом, вираженим через амплітуди й початкові фази гармонік, або комплексним рядом.

Нехай – періодичне коливання напруги, значення якого повторюються строго через певний проміжок часу – період Т. Це коливання може бути виражене:

а) тригонометричним рядом Фур'є через коефіцієнт:

(1.1)

де - частота першої (основної) гармоніки, що збігається із частотою коливань ;

- постійна складова ряду (середнє значення функції );

- -ні коефіцієнти розглянутого ряду Фур'є, які обчислюються за формулами: ;

б) тригонометричним рядом Фур'є через амплітуди й початкові фази гармонік (косинусоїд):

(1.2)

де амплітуда -ої гармоніки;

початкова фаза -ної гармоніки;

Ці формули забезпечують перехід від ряду а) до ряду б)

в) комплексним рядом Фур'є:

(1.3)

де коефіцієнти ряду (комплексні амплітуди гармонік).

Ряди Фур'є довільних аналогових періодичних сигналів можуть містити нескінченно велику кількість членів. Проте одним з важливих достоїнств перетворення Фур'є є те, що при обмеженні (усіканні) ряду Фур'є до будь-якого кінцевого числа його членів забезпечується найкраще по середній квадратичній похибці наближення до вихідної функції.

У таблиці приведені розкладання для восьми форм періодичних сигналів.

Таблиця 1.1–Розкладання періодичних сигналів

Графік f(t)	Ряд Фур’є функції f(t)	Примітка

Продовження таблиці 1.1

Графік f(t)	Ряд Фур’є функції f(t)	Примітка

Вибір форми ряду Фур'є залежить від поставленого завдання аналізу і форми завдання сигналу.

Ряд а) дозволяє оцінити внесок ортогональних складових гармонік у загальний сигнал. Запис цього ряду можна значно спростити, якщо певним чином вибрати систему координат. Так якщо сигнал симетрично ділиться віссю часу , то постійна складова . Якщо вертикальна вісь (ордината) ділить сигнал таким чином, що , то він є парною функцією й коефіцієнти . Якщо є непарною функцією, то в цьому випадку коефіцієнти .

Ряд б) зручний для гармонійного відображення спектрального складу коливання . При цьому:

- розподіл амплітуд гармонік на частотній вісі називають амплітудним спектром (АС) ;

- розподіл початкових фаз гармонік на частотній вісі називають фазовим спектром (ФС) .

Очевидно, що при або , перехід від ряду а) до ряду б) не потрібний.

_{Ряд в) фізичного змісту не має, але виявляється зручним при аналітичному аналізі сигналів та їх перетворень. Одним із вибору форми ряду Фур’є є метод спектрального представлення сигналів, який можна поділити на три групи: аналітичний, графоаналітичний та експериментальний.}

_{Аналітичний метод пов'язаний з безпосереднім розрахунками всіх складових ряду Фур'є з використанням аналітичного представлення сигналу. Основна гідність – точність, недолік – складність інтегральних обчислень.}

_{Графоаналітичний метод заснований на заміні інтегральних виражень кінцевими сумами. Основою служить графічне представлення сигналу. Перевага – простота, недоліки – громіздкість обчислень і низька їхня точність.}

Експериментальний метод заснований на використанні спеціальної апаратури – спектральних аналізаторів (фізичних або віртуальних).

1. Ряд Фур'є періодичних функцій з періодом 2π

Ряд Фур'є дозволяє вивчати періодичні (неперіодичні) функції, розкладаючи їх на компоненти. Змінні струми і напруга, зсуви, швидкість і прискорення кривошипно-шатунових механізмів і акустичні хвилі - це типові практичні приклади вживання періодичних функцій в інженерних розрахунках.

Розкладання в ряд Фур'є ґрунтується на припущенні, що всі мають практичне значення функції в інтервалі – можна виразити у вигляді тригонометричних рядів, що сходяться (ряд вважається таким, що сходиться, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів):

Стандартний запис через суму і :

де , , ..., , - дійсні константи, тобто

(1.4)

Де для діапазону від до коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються по формулах:

Коефіцієнти , і називаються коефіцієнтами Фур'є, і, якщо їх можна знайти, то ряд (1.4) називається рядом Фур'є, відповідним функції . Для ряду (1.4) член називається першою або основною гармонікою. Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення :

;

Де - константа, з , …, - амплітуди різних компонентів, а фазовий кут рівний . Для ряду (1.4) член або називається першою або основною гармонікою, або називається другою гармонікою і так далі.

Для точного представлення складного сигналу зазвичай потрібна нескінченна кількість членів. Проте в багатьох практичних завданнях досить розглянути лише декілька перших членів.

2. Ряд Фур'є неперіодичних функцій з періодом 2π

Розкладання неперіодичних функцій. Якщо функція неперіодична, значить, вона не може бути розкладена в ряд Фур'є для всіх значень . Проте можна визначити ряд Фур'є, що представляє функцію в будь-якому діапазоні шириною .

Якщо задана неперіодична функція, можна скласти нову функцію, вибираючи значення в певному діапазоні і повторюючи їх поза цим діапазоном з інтервалом . Оскільки нова функція є періодичною з періодом , її можна розкласти в ряд Фур'є для всіх значень . Наприклад, функція не є періодичною. Проте, якщо необхідно розкласти її в ряд Фур'є на інтервалі від 0 до , тоді поза цим інтервалом будується періодична функція з періодом (як показано на рис. 1.1).

Рисунок 1.1 – Періодична функція з періодом

Для неперіодичних функцій, таких як , сума ряду Фур'є дорівнює значенню в усіх точках заданого діапазону, але вона не рівна для точок поза діапазоном. Для знаходження ряду Фур'є неперіодичній функції в діапазоні використовується формула коефіцієнтів Фур'є.