2.1. Введение

Данная глава, как мы условились в разд. 1.5, посвящена взаи­модействию излучения с веществом. Это очень широкая область науки, иногда называемая фотофизикой. Здесь мы ограничимся обсуждением лишь явлений, имеющих непосредственное отно­шение к веществу, используемому как активная среда лазера.

Вводный раздел посвящен теории излучения черного тела, на которую опирается вся современная физика излучения. Затем

мы рассмотрим элементарные процессы поглощения, вынужден- ного излучения, спонтанного излучения и ре- лаксации. На первом этапе это изучение будет проводиться ра- ди простоты для разреженных сред и малой интенсивности из- лучения. Кроме того, будем вначале считать, что среда состоит только из атомов. Затем будут рассмотрены случаи высокой

интенсивности излучения и плотных сред (когда возникают та­кие явления, как насыщение, суперизлучение, суперлюминес­ценция и усиленное спонтанное излучение). В последнем раз­деле мы обобщим некоторые из полученных результатов на бо­лее сложный случай молекулярной системы. Некоторые весьма важные, хотя и не столь общие вопросы, касающиеся фотофи­зики полупроводников, молекул красителей и центров

мы кратко обсудим в гл. 6 непосредственно перед рассмотре­нием соответствующих лазеров.

2.2. Теория излучения черного тела [1]

Рассмотрим полость, заполненную однородной и изотропной диэлектрической средой. Если стенки полости поддерживаются при постоянной температуре Г, то они непрерывно испускают и

поглощают энергию в виде электромагнитного излучения. Когда

скорости поглощения и испускания энергии становятся одинако­выми, как на стенках полости, так и во всем объеме диэлектри­ка достигается равновесное состояние. Это состояние можно

описать с помощью величины, называемой плотностью энергии р, которая представляет собой электромагнитную энергию, за­ключенную в единице объема полости. Поскольку мы имеем дело с электромагнитным излучением, плотность энергии можно выразить через напряженности электрического £(/) и магнит­ного #(/) полей в соответствии с хорошо известной формулой:

р = (1/2)е£²(0 + (1/2)цЯ²(0, /2.1)

где 8 и j-i — соответственно диэлектрическая и магнитная прони­цаемости среды, заполняющей полость.

Спектральное распределение энергии излучения будем опи­сывать функцией p_v, которая зависит от частоты v. Эта функция определяется следующим образом: p_vdv представляет собой плотность электромагнитного излучения с частотами в интер­вале от v до v + rfv. Очевидно, что соотношение между р и p_v можно записать в виде

со

р= ^ p_vdv. (2 Л а)

Если теперь проделать отверстие в стенке полости, то часть света со спектральной интенсивностью /_v будет покидать по­лость сквозь это отверстие. Как мы увидим в конце данного раздела, I_v связано с p_v простым множителем пропорциональ­ности.

Можно показать, что спектральные распределения энергии p_v, а следовательно, и 7_V являются универсальными функциями, которые не зависят ни от материала стенок, ни от формы поло­сти, а определяются лишь частотой v и температурой полости Г. Это свойство величины p_v можно доказать с помощью простого термодинамического рассуждения. Предположим, что имеются две полости произвольной формы, стенки которых поддержива­ются при одной и той же температуре Г. Чтобы быть уверен­ными в том, что температура сохраняется постоянной, можно представить себе, что стенки обеих полостей находятся в тепло­вом контакте с двумя термостатами при температуре Т. Пред­положим, что для данной частоты v спектральная плотность энергии р^ в первой полости больше, чем соответствующая ве­личина во второй полости. Соединим теперь оптически обе

полости, сделав в каждой из них отверстие и спроецировав при помощи подходящей оптической системы одно отверстие на дру­гое. Кроме того, установим в оптической системе идеальный фильтр, который пропускает излучение лишь в небольшом ча­стотном интервале вблизи частоты v. Если > р", то Г > /"

и возникает поток электромагнитной энергии из полости

во вторую. Однако этот поток энергии противоречит второму закону термодинамики, поскольку обе полости находятся при одной и той же температуре. Следовательно, при всех частотах должно выполняться равенство р^, — р".

В свое время задача о вычислении универсальной функции р(у, Т) вызвала значительные затруднения у физиков. Однако благодаря Планку, который для нахождения правильного ре­шения ввел так называемую гипотезу о световых квантах, она была полностью решена. Поэтому теория излучения черного тела является одной из фундаментальных основ современной физики.

Поскольку функция p_v не зависит ни от формы полости, ни от природы диэлектрической среды, рассмотрим для простоты прямоугольную полость с идеально проводящими стенками, равномерно заполненную диэлектриком (рис. 2.1). Расчет функ­ции p_v начнем с вычисления

распределения стоячих элек- тромагнитных волн, которое может существовать в этой полости. Согласно уравнениям Максвелла, напряженность электрического поля z, t)

волны должна удовлетворять волновому уравнению

V²E - (1/с²)(д²Е/д^=^ О, (2.2) Рис. 2.1.

где V-оператор Лапласа, а стеноми, Wep™e™™^S с- скорость света в рассмат- температуре Т.

риваемой среде. Кроме того,

напряженность электрического поля должна удовлетворять сле­дующему граничномуусловию на каждой стенке:

_{Е Хт-= О,}

^(гз)

где п — нормаль к поверхности рассматриваемой стенки. Это условие выражает тот факт, что тангенциальная компонента электрического поля должна обращаться в нуль на стенках полости.

Нетрудно показать, что задача решается разделением пере­менных. Таким образом, записывая

^{Е = u(*}_e ^{у, г) Л (0 (2.4)}

и подставляя это выражение в уравнение (2.2), получаем

V²u = — ife²u, (2.5a)

(PAfdfi = - (сА)²Л, (2.56)

_{величина.}

^{где к — постоянная}

решение

Уравнение (2.56) имеет общее Л =Л₀ sin (а* + Ф), (2.6)

где и

^{произвольные постоянные величины, а}

_{(О = ck.}

_(2.7)

Если функция A (t) дается выражением (2.6), то решение (2.4) соответствует определенной конфигурации стоячей волны тромагнитного поля внутри полости. Действительно, амплитуда этой волны в данной полости является постоянной во времени. Решение такого типа называется электромагнитной модой по­лости.

Перейдем теперь к решению уравнения (2.5а), известного как уравнение Гсльмгольца, с учетом граничных условий (2.3). Нетрудно убедиться в том, что выражения

и_х = е_х cos k_xxsin k_yy sin k_zz,

u_y = e_y sin k_xxcos k_yy sin k_zz_f (2.8)

u_z == e_z sin&j^sin k_yy cos k_zz

удовлетворяют уравнению (2,5a) для любых значений l_Xi L, l_z

при условии, что

_{bl +} ^k_{l +} ^k_l=^k2_-

_(2.9)

Кроме того, решения (2.8) уже удовлетворяют граничным усло­виям (2.3) на трех плоскостях х = О, у = 0 и z = 0. Если мы

потребуем, чтобы эти граничные условия были справедливы также на других стенках полости, то получим

^k_x ^{= ln/2a}_t ^k_y ^{= mn/2a}₉ ^k_z ^{= пл/L;}

(2.10)

здесь /, m и n — произвольные положительные целые числа. Фи­зический смысл этих чисел можно понять сразу: они представ­ляют собой количества узлов моды стоячей волны в направле­ниях соответственно х, у и _z. Фиксированным значениям /, m и п соответствуют определенные значения k_Xy k_y и k_Zl и, согласно (2.7) и (2.9), частота моды со будет также задана. Она опреде­ляется выражением

_{<m.»=4(£Y + (^Y+m}²_l.

_(2.11)

в котором явно показана зависимость частоты моды от индек­сов /, m и п. Однако сама мода еще полностью не определена, поскольку остаются произвольными е_х, е_у и е_г. Тем не менее из уравнений Максвелла следует еще одно условие, которому дол­

жно удовлетворять электрическое поле, а именно V-u = 0. Из этого условия с помощью выражений (2.8) получаем

_{е • k = 0.}

(2.12)

Тем самым мы определили два вектора е и к, компоненты ко­торых вдоль осей х, у и z равны соответственно е_х, е_у> e_z и k_Xi ky> k_z. Из уравнения (2.12) видно, что из трех величин е_х, е_у и e_z только две являются независимыми. Действительно, если за­даны /, т, п (т. е. сразу определен вектор к), то вектор е обя­зан лежать в плоскости, пер-

пендикулярной k. В этой плоскости для выбора на­правления вектора е оста­ются лишь две степени сво­боды и, следовательно, воз­можны только две моды. Любой другой вектор, ле­жащий в этой плоскости,

можно представить в виде линейной комбинации двух уже выбранных векторов.

Подсчитаем теперь чис­ло мод N_v полости, имею­щих частоты от 0 до v. Это

_{число будет такое же, как}

и ЧИСЛО МОД, ВОЛНОВОЙ век­тор к КОТОРЫХ имеет вели­чину к в Пределах 0 - 2nv/c.

/

„2ff/L

/г-

/ I

[

_{- •}

Т ., I

у

Рис 2.2. ^к иллюстрации плотности ге­нерируемых мод в полости, показанной на рис. 2.1. Каждая точка решетки со­ответствует двум модам полости.

_{Из выражений (2.10) видно,}

^{что в системе координат k}_x^{. k«, к}_г ^{возможные значения для к}

даются векторами, соединяющими начало координат с узло­выми точками трехмерной решетки, показанной на рис. 2.2.

Совершенно очевидно полное соответствие между этими точ­ками и возможными значениями вектора к. Однако, поскольку величины k_Xi k_u и kg являются положительными, мы должны

^{учитывать только точки, лежащие в положительном октанте.}

Число таких точек, соответствующих величинам к в пределах 0 —2яу/с, равно одной восьмой отношения объема сферы с цен­тром в начале координат и радиусом 2nv/c к объему элемен­тарной ячейки размерами я/2а, л/2а и я/L. Поскольку, как уже указывалось, для каждого значения k возможно существование двух мод, мы имеем

₀ (1/8) (4/3) я (2rtv/c)³ _ ,~ *,-₃\ 1/. ^Nv = ² _{3%,2a)(n/2a){n/L) " ^{bHV >^6С ' ^V'

(2.13)

здесь V— объем полости. Если определить p(v) как число мод в единице объема и в единичном частотном интервале, то

Р (v) = (l/V)(dN/dv)= (1/с³) 8т². (2.14)

Получив выражение для p(v), мы можем теперь оерейти к вычислению плотности энергии p_v, поскольку она является произведением числа мод в единичном объеме и в единичном интервале частот p(v) на среднюю энергию каждой моды <Я>, т. е.

_Pv = p(v)(£). (2.15а)

Для вычисления <£> положим, что стенки полости находятся при температуре Т. В соответствии со статистикой Больцмана вероятность dp того, что энергия данной моды в полости лежит между Е и Е + dE, есть dp = Сехр [— {E/kT) dE, где С — кон­станта. Таким образом, средняя энергия моды <£> дается вы­ражением

со

\ Е ехр —(E/kT)] dE

_{(Е) =}

_kT.

(2.15)

\ ехр [— (E/kT)] dE

о

Тогда из (2.14), (2.15а) и (2.15) получаем

Pv

^(2.16)

Это хорошо известный закон излучения Рэлея — Джинса. Од­нако он находится в полном противоречии с экспериментальны­ми результатами. Действительно, совершенно очевидно, что вы­ражение (2.16) должно быть неправильным, так как из него следует, что интегральная плотность энергии р бесконечно ве­лика [см. формулу (2Ла)]. Тем не менее выражение (2Л6) представляет собой неизбежный результат всех предыдущих

^{рассуждений в соответствии с классической теорией.}

Задача оставалась нерешенной до тех пор, пока в начале XX в, Планк не ввел гипотезу о световых квантах. Согласно этой фундаментальной гипотезе, энергия данной моды полости не может принимать любые произвольные значения от 0 до оо, как это в неявном виде предполагалось в выражении (2.15), а разрешенными значениями этой энергии должны быть целые числа, умноженные на фундаментальную величину, пропорцио­нальную частоте моды. Иными словами, Планк высказал пред­положение, что энергия может быть записана в виде Е = nhv, где п — положительное целое число, а Л — некоторая константа (которая позже была названа постоянной Планка). Не вдаваясь в детали этой гипотезы, мы здесь лишь заметим, что в соответ­ствии с ней обмен энергией между полем внутри полости и ее стенками осуществляется дискретными порциями энергии hv. Эта минимальная величина, которая может участвовать в об­мене энергией, и называется световым квантом или фотоном. Согласно гипотезе Планка средняя энергия моды записывается в виде

оо

£ nhv exp [- (nhv/kT)]

/ПА „ AV /л i т\

^ ' *» exp (hv/kT) — 1 \ • J

£ exp [- (nhv/kT)]

Эта формула существенно отличается от классического выраже- ния (2.15). Очевидно, в предельном случае она стано- вится классическим выражением (2Л5). Из (2.14) и (2.17) по- лучаем формулу Планка

8яv² _ hv ,₂₁₈₎

^^v с³ exp (hv/kТ)- 1 * \ • /

которая находится в полном согласии с экспериментальными результатами при условии, что постоянная h имеет значение приблизительно 6,62 • l(h³⁴ Дж • с. Выражение, аналогичное (2.18), можно также записать для функции р_т определяемой таким образом, что величина p^do представляет собой плот­ность энергии излучения с угловой частотой в пределах ш -f-*т-(о + dar. Полагая p_ttA© = p_v dv, из (2.18) имеем

Р___ —— .... • f О I ft о \

* 2к с³ [exp(hm/kT) - 1] ¹ \£*юл)

здесь, следуя общепринятой договоренности, мы использовали обозначение h = h/2n. На рис. 2.3 показана зависимость p_v от частоты для двух различных значений температуры Г. Следует заметить, что отношение

<£} 1

~⁼ exp (hv/kT) - 1 <²'¹⁹)

равно среднему числу фотонов в моде. Если частота v при­надлежит оптическому диапазону (4*10¹⁴ Гц), то hv ~ 1 эВ. При температуре Т ж 300 К имеем kT « (1/40) эВ, и из выра­жения (2.19) находим ф «ехр(—40). Таким образом, в излу­чении черного тела при комнатной температуре среднее число фотонов в каждой моде много меньше единицы. Забегая впе­ред, укажем, что эту величину следовало бы сравнить с числом фотонов 9о» приходящимся в лазерном резонаторе на одну моду (см., например, рис. 5.24).

Прежде чем закончить данный раздел, интересу вывести соотношение между плотностью энергии в полости черного тела и интенсивностью излучения /, испускаемого ее стенками. Ис-

Л, мкм

Рис. 2.3. Функция p_v (v, Г) для двух значений температуры Т. \

пользуя рис. 2.4, вычислим плотность энергии в малом объеме ' V внутри полости, обусловленную излучением стенок полости. Вершина конуса телесного угла d& находится на элементе по­верхности dS, который находится на расстоянии г от объема V. Можно считать, что при пересечении этого конуса с малым объемом V образуется цилиндр с поперечным сечением ds и длиной L В соответствии с выражением (1.13) энергия, испу­скаемая в единицу времени элементом поверхности dS в телес­ный угол dQ, равна В cos 8 dS dQ, где В — яркость поверхности ₍ черного тела. Часть этой энергии, равная 1/с, приходится на объем V. Поскольку dQ = ds/r², энергия в объеме V будет равна В cos 6 dS (I ds/r²c). Чтобы получить полный вклад энер­гии излучения от элемента поверхности dS в объем V, мы долж­ны проинтегрировать это выражение по всем телесным углам, ^{которые опираются на элемент dS, что дает \ tds= К. Затем}

нужно проинтегрировать энергию излучения по всей поверхно­сти черного тела. Таким образом, для плотности энергии в объ­еме V получаем следующее выражение:

В Г cos в . „

Р , — dS.

¹ с } г³

Заметим, что величина cos QdS/r² равна телесному углу dQ',

под которым поверхность (который предполагается малым). Следовательно,

^{р = (В/с) J dQf = AtiBjc.}

Кроме того, интегральная интенсивность /, излучае­мая элементом dS, дает­ся выражением

зх/2 2я

/= ^ ^ В соsQdQ = е=»о ф=о

= яВ. (2.20)

С помощью этого выра­жения мы приходим к окончательному резуль­тату;

p = (4/c)/ = (4n/c₀)/,(2.21)

где п — показатель преломления среды, заполняющей полость, и Со — скорость света в вакууме. Очевидно, такое же соотноше­ние применимо и к спектральным плотностям соответствующих

величин, так что

_{pv — (4/i/c0) /v}

(2.22)

Следует заметить, что величина / (как и Д.) — не только излу­чаемая, но и поглощаемая элементом поверхности dS интенсив­ность. Следовательно, эта же величина представляет собой ин­тенсивность, выходящую из отверстия в стенке полости. Под­ставляя (2.18) в (2.22), находим выражение для спектральной интенсивности света, излучаемого полостью, являющейся чер­ным телом.

2 О. Звелто