5.4.5. Синхронизация мод [26, 27]

Метод синхронизации мод позволяет получить генерацию ла­зерных импульсов сверхкороткой длительности (от нескольких десятков фемтосекунд до нескольких десятков пикосекунд). Син­хронизация мод соответствует условию генерации, при котором

моды резонатора генерируют с примерно одинаковыми ампли­тудами и синхронизованными фазами.

В качестве первого примера рассмотрим генерацию 2л + 1 продольных мод с одинаковыми амплитудами Е₀ (рис. 5.37, а). Предположим, что фазы А мод в выходном пучке синхронизо­ваны таким образом, что между ними выполняется соотношение

^{Ь-Ф1-1 = Ф, (5Л06)}

где Ф — постоянная величина. При этом полное электрическое поле E(t) электромагнитной волны в данной точке выходного

пучка без учета постоянной части полной фазы можно записать

_{в виде}

£(/)= £ £₀ехр{Ч(«оо-'Да)' +#1). (5.107)

где «о — частота центральной моды, а А© — межмодовое рас­стояние, Для простоты рассмотрим поле в той точке простран­ства» в которой фаза центральной моды равна нулю. В соот­ветствии с выражением (5.107) полное электрическое поле вол­ны E(t) можно записать следующим образом:

E(t) = A (t) ехр (5.108)

здесь

tt

_{A(t)=T, £о ехр « (Да t + *).}

1*=—П

(5.108а)

ген

_1?'

а

Выражение (5.108) показывает, что функция E(t) может быть представлена в виде синусоидальной волны с несущей часто­той, равной частоте централь­ной моды о>о, причем амплиту­да волны A (t) модулирована во времени. Если выбрать те­перь новую временную пере­менную f, такую, что Лш£' = = До)£ + ф_у то выражение (5.108а) примет вид

п

Рис, 5,37. Частотное распределение амплитуд мод (представленных вер­тикальными линиями) лазера с син­хронизованными модами; а — одно­родное распределение; б — гауссово распределение в полосе шириной А©_ге,1, измеряемой на полувысоте.

^{Л(/') = Z £}₀ ^{ехр (ИД© О-}

(5.109)

менателем, равным труда вычислить A (/'), и мы имеем

Нетрудно заметить, что сумма в правой части этого выраже- ния представляет собой геомет- рическую прогрессию со зна- ехр ^ПР^{И этом} можно без особого

л /,л _ sin [(2п+\)Ш'т

(5.110)

Чтобы понять физический смысл этого выражения, на рис. 5.38 мы построили величину A²(f), пропорциональную ин­тенсивности пучка, от времени V для 2п + 1=7 генерирующих мод. Видно, что благодаря выполнению условия синхронизации фаз (5Л06) генерирующие моды интерферируют друг с другом и образуют цуг равно отстоящих световых импульсов. Макси­мумы импульсов приходятся на те моменты времени, когда зна­менатель в выражении (5.110) обращается в нуль. Таким обра­зом, в новой системе отсчета времени V максимум появляется при К=0. Числитель в выражении (5.110) также обращается

в нуль при = 0, и мы видим, что Л²(0) = (2я+ 1)²£о. Следую­щий импульс появится, когда в выражении (5.110) числитель дроби вновь обратится в нуль. Это имеет место при таком зна­чении t\ при котором (Amt^//2) = п. Поэтому два последователь­ных импульса разделены временем

2я;/Дш.

(5.1 И)

При Г>0 первый нуль функции A*(f) на рис. 5.38 появится тогда, когда числитель дроби в выражении (5.110) вновь об­ратится в нуль. Это произойдет в такой момент времени t^f

to"*"

при котором выполняется условие [(2д + 1)Дш^/2] = п. По­скольку ширина измеренная на полувысоте функции

(т. е. каждого лазерного импульса), приближенно равна f_p9 мы

_имеем

^{at- & 2я/(2/г + 1) Доо == 1/Д^}

ген»

(5.112)

здесь Av_rm = (2п + 1)Дш_Ген/2л;— полная ширина линии генера­ции (см. рис. 5.37, а).

Временную картину синхронизации мод на рис. 5.38 нетруд­но понять, если различные моды представить в виде векторов на комплексной плоскости. При этом 1-й моде соответствует ком­плексный вектор с амплитудой £о, вращающийся с угловой ско­ростью шо + /Дш. Если мы теперь перейдем к системе координат, вращающейся с угловой скоростью ш₀, то центральная мода бу­дет представлять собой вектор, неподвижный относительно этих осей, а /-я мода —вектор, вращающийся с угловой скоростью /Д(о. В момент времени /'=0 в соответствии с (5.109) все век­торы будут иметь нулевые фазы и, следовательно, одинаковое направление, которое будем считать расположенным в горизон­тальной плоскости на рис. 5.39. В этом случае полное поле рав­но (2п+ 1)Е₀. При f > О векторы мод с частотой со > со₀ будут

вращаться в одном направлении (например, против часовой стрелки), в то время как векторы мод с частотой со < а>₀—в противоположном (по часовой стрелке), вектор же центральной моды остается неподвижным. Следовательно, в некоторый мо­мент времени V > О в случае, скажем, пяти мод картина будет выглядеть как на рис. 5.39, а. Если теперь ко времени V мода 1 повернулась на угол 2п (это имеет место, когда Aa>f = 2л), то мода Г повернется (по часовой стрелке) на угол 2.% а моды 2 и 2' повернутся на 4л. Следовательно, все эти векторы снова совпадут с вектором центральной моды на частоте шо, и полное электрическое поле опять станет равным (2я + 1)£₀- Таким об­разом, временной интервал х_р между двумя последовательными

0

_б

_а

импульсами должен быть таким, чтобы Ат_р = 2п, что и утвер­ждает выражение (5.111). Заметим, что на рис. 5.38 момент времени f_pi при котором функция A(t) впервые обращается в

нуль, соответствует случаю, когда все векторы повернуты на один и тот же угол относительно друг друга (рис. 5.39, б). Что­бы выполнялось это условие, мода 1 должна повернуться лишь на угол 2л/5, или в более общем случае 2/1+1 мод на угол 2я/(2л.+ 1). Таким образом, время £ и тем самым длитель­ность импульса теперь определяются выражением (5.112).

Прежде чем продолжить рассмотрение явления синхрониза­ции мод, имеет смысл подытожить и прокомментировать полу­ченные к настоящему моменту основные результаты. Мы уста­новили, что условие синхронизации мод (5.106) определяет выходной пучок, который представляет собой цуг синхронизован­ных по фазе импульсов, причем длительность каждого импульса

■V*

_J

Дт_Р примерно равна обратной ширине линии генерации Av_ren-Этот результат нетрудно понять, если вспомнить, что временное поведение каждого импульса есть просто фурье-образ его ча­стотного спектра. Отсюда видно, что, поскольку ширина линии генерации Avw может быть порядка ширины линии усиления Avo, то можно надеяться, что синхронизация мод в твердотель­ных или полупроводниковых лазерах позволит генерировать очень короткие импульсы (до нескольких пикосекунд). В лазе­рах на красителе ширина линии усиления в сотни раз превы­шает эту величину в твердотельных лазерах, что дает возмож­ность получать в этих лазерах и уже действительно были полу­чены значительно более короткие импульсы (до приблизительно 30 фс). В газовых же лазерах ширина линии усиления намного уже (до нескольких гигагерц) и поэтому генерируются относи­тельно длинные импульсы (до ~ 100 пс). А теперь вспомним, что два последовательных импульса разделены временным проме­жутком т_р, определяемым выражением (5.111). Поскольку Аш = = 2nAv = ж/L, где L — длина резонатора, мы имеем %_р = 2L/c, что в точности равно времени полного прохода резонатора. Сле­довательно, внутри лазерного резонатора генерация будет иметь вид сверхкороткого импульса длительностью Дтр, определяемой выражением (5.112), который распространяется вперед и назад по резонатору. В самом деле, в этом случае пучок на выходе из какого-либо зеркала представляет собой цуг импульсов, причем временной промежуток между двумя последовательными им­пульсами равен времени полного прохода резонатора. Харак­терные числовые значения подтверждают такое представление, поскольку пространственная протяженность Д2 импульса дли­тельностью, скажем, Дт_р = 1 пс равна Az = СоДт = 0,3 мм, т. е. много меньше типичной длины резонатора лазера.

Прежде чем продолжить рассмотрение, необходимо указать на то, что происходит в случае, когда фазы являются случай­ными. На рис. 5,40 показано временное поведение квадрата ам­плитуды поля |Л (/)|² для случая семи мод с межмодовым рас­стоянием Аш, имеющих одинаковые амплитуды £0 и случайные значения фаз. Мы видим, что выходной пучок, в отличие от рас­смотренного выше случая с синхронизацией мод, представляет собой теперь нерегулярную последовательность световых им­пульсов. Однако, как следует из общих свойств рядов Фурье, длительность каждого светового импульса по-прежнему равна Ат_Р, или примерно 1/Ду_ген (Ду_ген—полная ширина линии гене­рации), среднее время между импульсами в точности равно Дт*, а частота повторения импульсов т_р = 2л/До>. Заметим, что, по­скольку время отклика обычного электронного приемника, как

_{правило, значительно превышает Дтр, на выходе многомодового} лазера без синхронизации мод не фиксируется столь сложное временное поведение, а регистрируется усредненная картина. Регистрируемая при этом величина мощности представляет со­бой просто сумму мощностей каждой моды, и, следовательно,

она пропорциональна (2п+\)<Е% Поскольку в случае синхро-

А О

низании мод пиковая мощность пропорциональна (2п + 1)*£5, мы видим, что синхронизация мод полезна для создания импуль­сов не только с очень короткой длительностью, но также и с вы-

Рис. 5.40. Временная зависимость квадрата амплитуды электрического поля для случая семи генерируемых мод с равными амплитудами и случайно выбранными фазами (Ф\ = 2,4789, ф₂ = 2,3316. Ф₃ = 5,5959. <*₄ = 4.3687,

0₅ = 0,6872, 0₆ = 0,7608, 0₇ = 1,5217, радиан).

сокой пиковой мощностью. Действительно, как это вытекает из приведенного выше рассмотрения, отношение пиковой импульс­ной мощности в случае синхронизации мод к средней мощности без синхронизации мод равно числу 2п + 1 генерируемых мод, которое для твердотельных и жидкостных лазеров может быть довольно большим (10³—10⁴).

До сих пор мы ограничивались рассмотрением нереального случая спектра мод, имеющих одинаковые амплитуды (рис. 5.37, а). В общем случае модовый спектр имеет, как пра­вило, колоколообразную форму. Для объяснения того, что про­исходит в этом случае, предположим, что модовый спектр имеет гауссово распределение (рис. 5.37,6). Следовательно, ампли­туду Ei для /-й моды можно записать в виде

(5.113)

где Дсоген — спектральная ширина линии, измеренная на поло­вине высоты. Если мы снова предположим, что фазы синхрони­зированы в соответствии с выражением (5.106) и фаза цен­тральной моды равна нулю, то E(t) можно снова записать в виде (5.108), причем амплитуда A(t) в системе отсчета

_I

_J

^{мени дается}

оо

_{Л (О = Z Е, ехр I {I Ш'). (5.114)}

1 = -оо

^{если сумму аппроксимировать интегралом, т. е. записать}

A(t) \ Eitxpt (1А(йt) dl, то оказывается, что амплитуда поля

JI(i) пропорциональна фурье-образу величины спектральной амплитуды Ei. При этом получаем следующее выражение:

А²(0 ~ ехр [— (2//Дт_р)²1п2], (5.115)

где импульса высоты,

дается выражением

Ах_р = 2 In 2/я Av_reH = 0,441/Av_relI. (5.116)

Рассмотренные два примера синхронизации мод позволяют сделать вывод о том, что при выполнении условия синхрониза­ции мод (5.106) амплитуда поля оказывается пропорциональ­ной фурье-образу спектральной амплитуды. Длительность им­пульса Лт_р связана с шириной спектральной интенсивности Avion соотношением Ат_р = k/Av^m где к— числовой множитель (порядка единицы), который зависит от конкретного вида рас­пределения спектральной интенсивности. Такой импульс назы­вают импульсом, длительность которого определяется обратной шириной спектра ^п.

При условиях синхронизации, не совпадающих с (5.106), длительность выходного импульса может существенно отличать­ся от обратной ширины спектра. Если, например, представить ф( в виде

^{ф1=1ф[ + 12ф2 (5.117)}

[заметим, что условие (5.106) можно записать как и

предположить, что амплитудное распределение является гаус­совым [определяемым выражением (5.113)], то фурьс-образ спектра можно снова получить аналитически, а амплитуду Е(1) в этом случае можно записать следующим образом:

Е (/) ~ ехр [- at²] ехр [i (со₀/ + р/²)). (5.1 18)

^п В оригинале такой импульс назван transform limited pulse, В совет­ской литературе нет эквивалентного этому установившегося термина. Он от­носится к импульсам, генерируемым в идеальном режиме, когда все моды в полосе генерации синхронизованы, а фазовая или частотная модуляция отсутствует. В этом случае огибающая импульса однозначно связана пре­образованием Фурье с полным спектром генерации и предельная (минималь­ная) длительность импульса ограничивается только обратной шириной спек­тра. -Прим, персе.

Отсюда видно, что интенсивность пучка, пропорциональная \E(t) \ по-прежнему описывается гауссовой функцией с шири­ной Дт_Р5 равной

Дт_р=(21п2/а)^1/2. (5.118а)

Здесь используется параметр а, встречающийся в выражении (5.118). Однако заметим, что из-за наличия в (5Л_17) квадра­тичного по модовому индексу / фазового члена Рф₂ функция E(t) имеет теперь квадратичный по времени фазовый член pft Отсюда следует, что у несущей частоты волны о>о + 2р/ появи­лось линейное по времени смещение. Значение величины р и тем самым величина этого смещения зависит от ф₂ в (5.117), однако точное выражение для 2(5£ мы здесь не будем приводить, по­скольку в дальнейшем оно не понадобится. Однако следует под­черкнуть, что импульс с линейно меняющейся во времени часто­той, представленный в форме (5.118), может на самом деле быть получен при выполнении определенных условий синхронизации мод, определяемых выражением (5.117). Теперь нетрудно пока­зать, что длительность импульса вида (5.118) не определяется обратной шириной спектра. Чтобы убедиться в этом, вычислим спектральную ширину импульса, применяя преобразование Фурье к выражению (5.118). Оказывается, что в этом случае ширина линии генерации равна

При выводе этого выражения использовано также соотношение (5Л18а). Из (5.119) видно, что для (ЗДт^ 1, т. е. для доста­точно больших частотных смещений произведение Дт^Ду_ген зна­чительно превосходит единицу. Физический смысл этого можно понять, если заметить, что спектральное уширение обусловлено теперь как амплитудной модуляцией поля E(t) [которой отве­чает первый член в правой части выражения (5.119)], так и ча­стотным сдвигом 2$t [которому отвечает второй член в правой части выражения (5.119)].