5.4.3.2. Режимы генерации

работающему

рисунке пЬказ^Раны^ИМвремеи-ные зависимости скорости

накачки потерь резона­тора у» инверсии населен­ностей N и числа фото­нов д.

Лазеры с модулированной добротностью могут работать в одном из следующих двух режимов. 1) В импульсном режиме (рис. 5.32). В этом случае скорость накачки \V_P имеет форму импульса определенной длительности. Таким образом, до момента включения добротности инверсия населенностей N(t) нарастает до максимального зна­чения, а затем спадает. Добротность резонатора включается в момент вре­мени, когда N(t) становится макси­мальной (* = 0 на рисунке). С этого момента времени (t>0) начинает увеличиваться число фотонов, что водит к возникновению импульса ге­нерации, максимум которого имеет ме­сто в некоторый момент времени t_d после включения добротности резона­тора. Увеличение числа фотонов при­водит к уменьшению инверсии насе­ленностей N(t) от некоторого началь­ного значения Ni (три t = 0) до коиеч-ного значения которое достигается

послс того, как импульс генерации за­кончится. Разумеется, лазеры с моду­ляцией добротности и импульсной на­качкой могут работать в режиме по­вторяющихся импульсов, причем час­тота повторения обычно колеблется от единиц до нескольких десятков герц. 2) Импульсно-периодический режим с модуля­цией добротности при непрерывной накачке (рис. 5.33). Этот режим осуществляется при непрерывной накачке (со скоростью W_p) лазера и периодическом переключении потерь резонатора до низкого уровня. При этом выходное излучение лазера

^J> Пассивным модуляторам добротности присуши и другие недостатки, а именно неконтролируемый момент времени срабатывании и, как следствие случайного момента срабатывания, пес: а бил ыш я (колебания до 100 %) мощ­ность импульса, поскольку при импульсной накачке уровень накопленной

инверсии населенностей, мепеипй такое поведение

ее тес т?. е и но. м е 11 яете я недопустимо. — Прим.

во времени. Для ред.

многих при-

представляет собой непрерывный цуг световых импульсов, а ин­версия периодически изменяется от начального значения Nt (пе­ред включением добротности резонатора) до конечной величины N_f (после излучения гигантского импульса). Затем в процессе накачки восстанавливается то значение инверсии населенностей

_%1

Ni_f которое она имела до включе-

_{U U LT}

ния добротности резонатора. По­скольку время, необходимое для восстановления инверсии, при­мерно равно времени жизни верх­него уровня т, разделяющий им­пульсы промежуток времени %_р должен быть порядка т. Поэтому частоты повторения лазеров с модуляцией добротности при не­прерывной накачке изменяются, как правило, от единиц до не­скольких десятков килогерц.

в

Для осуществления импульс­ного режима работы лазера обычно используют электроопти­ческие и механические затворы, а также насыщающиеся поглоти­тели. В случае импульсно-перио-

дического режима с модуляцией добротности при непрерывной на­качке лазера (который имеет

^{меньшее усиление, чем при}

импульсной накачке) применяют

механические затворы или, ческие затворы.

что более общепринято,

5.4J.3. Теория активной модуляции добротности Для простоты ограничимся рассмотрением лишь активной

модуляции добротности и в дальнейшем будем считать, что пе­реключение добротности происходит мгновенно (быстрое пере­ключение). С целью описания происходящих в лазере процес­сов можно снова воспользоваться уравнениями (5.18) и (5.24) соответственно для четырех- и трехуровневых лазеров.

Рассмотрим сначала импульсный четырехуровневый лазер (рис. 5.32) и предположим, что при i < 0 потери столь велики, что лазер находится в условиях ниже пороговых (т. е. q = О при / <0). Если модуляция добротности происходит в момент времени, когда N(t) достигает максимального значения, то со­ответствующую начальную инверсию можно получить из урав­нения (5.18а), полагая в его левой части N = 0. Тогда, предпо­лагая N <С N_t и учитывая, что q = 0, получаем

N_t = %W_P (0) N_i9 (5.86)

где W_p(0)—значение скорости накачки в момент времени t = 0. Предположим теперь, что временная зависимость W_p(t) имеет всего один и тот же вид независимо от величины интегра-

г

ла \ Wpdt, т. е. от энергии накачки. Тогда можно положить

^р(О)^ \ W_pdt₉ так что, например, если удваивается \ W_pdt₉

то удваивается также и W_P(0). Таким образом, если Е_р — энер­гия накачки, соответствующая данной скорости накачки

^£_р~^ W_pdij,то из соотношения (5.86) и последующего об­суждения вытекает, что N_t ~ Е_р. Следовательно, обозначив на­чальную инверсию при работе лазера на пороге генерации как ;V_ic, а соответствующую энергию накачки как £_ср, мы можем на­писать

NilN_ic = (Е_р(Е_ср) = х, (5.87)

где х = Е_р/Еср. Поскольку N\_c — это попросту критическая ин­версия для данного лазера (в режиме модулированной доброт­ности), ее значение можно получить из уравнения (5.186), по­лагая <7=0. Таким образом мы находим, что N_ic=y/al [см. также (5.26)]. Если известна N_lc, т. е. известны у, о и /, и если также известно отношение к энергии накачки и пороговой энер­гии накачки, то выражение (5.87) позволяет найти начальную инверсию Ni.

После того как мы вычислили Ni, эволюцию системы во вре­мени после включения добротности (т. е. при t > 0) можно опи­сать уравнением (5.18) с начальными условиями jv(0)=jv;h q(0)=qi. Здесь вновь небольшое число фотонов, необхо­димое для того, чтобы началась лазерная генерация. Впрочем, уравнения можно существенно упростить, поскольку мы ожи­даем, что изменения во времени величин N(t) и q(t) происхо­дят за столь короткие промежутки времени, что в уравнении

(5.18а) можно пренебречь членом — отвечающим за

накачку, и членом iV/т, отвечающим за релаксацию. Тогда урав­нения (5.18) сводятся к следующим:

N = -BqN> (5.8 8а)

q = (V_aBN — 1/т_г) q. (5.886)

Прежде чем продолжить наше рассмотрение, следует заме­тить, что в соответствии с (5.886) населенность N_Pi отвечающая максимуму светового импульса (см. рис. 5.26, б), т, е. когда q = О, дается выражением

_(5.89)

которое в точности совпадает с выражением для критической инверсии Л^г1с. Этот результат с учетом выражения (5.87) позво­ляет записать отношение N-:/N_a в виде, Полезном для дальней­шего рассмотрения:

M.jN_p « х. (5,90)

Сделав эти предварительные замечания, можно перейти к

вычислению пиковой мощности импульса, выходящего из лазера через, скажем, зеркало 2. Согласно (5.20), мы имеем

P2_P = (y2C_fJ2L')hvq_p; (5.91)

здесь q_P — число фотонов в резонаторе в тот момент времени, когда лазерный импульс достигает пикового значения. Для вы­числения Цр разделим уравнение (5.886) на (5.88а). Учитывая также соотношение (5.89), получаем уравнение

dq/dN = - V_a (1 - N_p/N), (5.92)

которое нетрудно проинтегрировать, и мы имеем выражение "

q = V_a[N_t ~N- N„In (Ni/N)), (5.93)

где для простоты мы пренебрегли небольшим числом а,. Тогда

в получаем

^q_p^{= V}_a^N_p^[NiJN_p ^{- \n(Ni/N}_p^{) — 1].}

(5.94)

Из этого выражения можно сразу получить q_p, если известны N_P [из (5.89)] и отношение ЛуЛ'_р [из (5.90)]. Теперь из фор­мул (5.91) и (5.94) можно вычислить пиковую выходную мощ­ность

Р_2р = (Y2/2) (Л_в/о)(Ь/т,) [NJNp- In 1]. (5.95)

Следует за метить, что в данном выражении м ы использовали формулу (5.22) для объема V⁷,.

Вычислим теперь выходную энергию Е. Для этого сначала заметим, что

00

00

Г

Е= Р₂ (0 dt = hv \ q dt,

_о ^{4 2L }} _о

(5.96)

где Pz(t)— выходная мощность как функция времени и где мы использовали формулу (5.20). Интегрирование в выражении

(5.96) нетрудно если проинтегрировать обе части

^{уравнения (5.886) и заметить, что q(0)= q(oo)= 0. При этом}

л ОО ^00 f оо

_{получаем \ adi = Va%c\ BqNdt. Интеграл \ BqMdt можно}

JO Jo JO

оо

_s

теперь вычислить, интегрируя обе части уравнения (5.88а), от­_о BqN dt = Ni—Nf, где Nf — конечная инверсия населенностей (см, рис. 5.26,б), Таким образом, получаем

q dt — V_ax_c(Nf— Nf), и выражение (5.96) принимает вид

_{Е = (уМ Wt— Nf)(Vahv). (5.97)}

I

и

Смысл этого выражения нетрудно понять, если заметить, что величина N(—Nf—это имеющаяся в наличии инверсия, кото­рая дает число фотонов (Ni — Nj) УаМз этого чи­сла фотонов, испущенных средой, лишь у₂/2у фото­нов дает выходную энер­гию. Чтобы вычислить Е с помощью (5.97), необхо­димо знать Nf. Эту вели­чину можно получить из выражения (5.93), пола­гая в нем t=oo. Посколь­ку q(oo) = 0, получаем

(N_t - N_f)/Ni =

= (Лу#,)1п(ад). (5.98)

Из этого соотношения на­ХОДИМ Nf/NliBK функцию величины N_p/Ni. Стоящая слева в (5,98) величина (Ni - Nf) /Ni - ц_Е назы­вается коэффициентом использования инверсии (или энергии). Действительно, хотя начальная инверсия равна N_t\ фактически используется лишь разность Л^г/ — Nf. Соотношение (5.98) можно переписать через це следующим образом;

^(Nj/N_р^{У\£ In (1 — %),}

_(5.99)

На рис. 5.34 построена кривая зависимости коэффициента ис­пользования энергии т]е от N(/Np, полученная вычислением (5.99). Заметим, что при больших значениях N;/N_P, т. е. когда энергия накачки намного превосходит пороговую энергию на­качки, коэффициент использования энергии стремится к единице.

Заметим также, что переписывая (5.97) через г\е и учитывая формулы (5.22) и (5.89), это выражение можно представить в более простом и наглядном виде:

Е - (Ya/2) (NJN_P) r\_E (4/0) Av. (о. 1 00)

Если известны выходная энергия и пиковая мощность, то мо­жно найти приближенное значение длительности импульсов Лт,,, определив его с помощью соотношения Ат_р = Е/Р_2р. Из выраже­ний (5.100) и (5.95) получаем

(5.Ш)

1

Ni/N_t

_{величина}

^(Vp)-««(W-

Заметим, что в зависимости от значения

примерно в 2—8 раз больше времени жизни "фотона в резона­торе т_г. Например, выбрав Ni/Np = х = 2$, из рис. 5.34 полу­чаем q_£ = 0,89, а из (5.101) имеем Дт„ ж 3,81 То Однако сле­дует заметить, что выражение (5.101) дает лишь приближенное значение Дт_Р, поэтому необходимо также помнить, что импульс является несимметричным, поскольку длительность его перед­него фронта Тг всегда меньше длительности заднего фронта Xf. Например, если определить %_г и т/ как интервалы времени от пиковой мощности импульса до моментов времени, соответст­вующих половине пиковой мощности, то численный расчет для рассмотренного выше примера дает значения т_г = 1,45 х_с и Tf = 2,06 То Мы видим, что в данном примере вычисленное при помощи соотношения (5.101) приближенное значение Атр при­мерно на 9 % превышает расчетное значение т_г + т/. Получен­ное соотношение приближенно выполняется для любого N§/N_P.

Время задержки между максимумом импульса ^!) и моментом включения добротности резонатора id (см. рис. 5.32) можно счи­тать приближенно равным времени, которое необходимо для того, чтобы число фотонов достигло определенной величины от­носительно максимального числа фотонов. Если выбрать, напри­мер, эту долю равной 1/10, то до этого момента времени не произойдет сколько-нибудь заметного насыщения инверсии и в уравнении (5.886) можно воспользоваться приближением M(t) = Ni. Тогда это уравнение с учетом соотношений (5.89) и (5.90) принимает вид q = (х — \)q/x_c, и после интегрирования мы имеем

^{q = q}_t ^{ехр [(х — 1) t/x}_c^{]. (5.102)}

Подставляя сюда q = q_p/l0, находим время задержки id. Таким образом, полагая — 1, получаем

г* = [t_c/(x- 1)] In fop/10); (5.103)

И По всей вероятности, имеется в виду начало импульса. — Прим. ред.

здесь <?я дается выражением (5.94). Заметим, что, поскольку q_p очень большое число (~ 10" в примере, рассматриваемом в еле-дующем разделе), величина ха не изменилась бы существенно, если бы в выражении (5,103) под знаком логарифма вместо <7„/10 мы выбрали q_p/20.

Рассмотрим теперь имиульсно-периодический лазер с моду­ляцией добротности при непрерывной накачке (рис. 5.33). Пре­жде всего заметим, что после включения доброт­ности и в течение времени формирования импульса модуляции добротности по-прежнему применимы уравнения (5.88). Следо­вательно, пиковая выход­ная мощность, выходная

^{энергия и длительность}

импульса даются соот­ветственно выражениями

(5.95), (5.100) и (5.101). Однако Ni/Np уже не определяется ' выражением

(5.90), поскольку ее сле­дует вычислять исходя из

других соображений. Дей­ствительно потребуем те­перь, чтобы за время х_Р между двумя следующи­ми друг за другом импуль­сами накачка восстанав­ливала начальную инвер-

_pN_tr- (W_pN_fT— N_f)exp (- т_р/т).

(5,26), (5.27) и (5.89) имеем выражение (5.104) приводит

сию, причем накачка про­исходит от значения инверсии Nf. Интегрируя уравнение (5.18а) [положив Wp(Nt- АО ж W_PNm q = 0], получаем

из соотношений =xN_p. При этом уравнению:

Nt - WpNi%- (W_pN_t%— N_f)exp (- xjx). (6.104)

^$^_pNtx^~xNc

к следующему

_к

(ЛУ#Д1 - ехр (-Iff⁹)] = 1 — (tf_f/tf,)exp (- 1/Г), (5Л05)

где х — число, показывающее во сколько раз скорость непре­рывной накачки превосходит пороговое значение, a f* = xf (где / = 1/тр) — нормированная частота повторения импульсов ла­зера. Уравнения (5Л05) и (5.98) (последнее по-прежнему

150

125

справедливо) составляют систему двух уравнений, которые позво­ляют вычислить Ni/Np и ЛуЛ^,если известны х и /*. На рис. 5.35 приведены полученные таким образом зависимости величины Ni/NpOT величины х, которая показывает, во сколько раз прев­зойден порог для нескольких значений нормированной частоты /*. Для данных значений х и f* с помощью рис. 5.35 находят соответствующее значение Ni/M_p. Определив Ni/Np, из рис. 5.34 можно найти Лущили, что эквивалентно, коэффициент исполь­зования энергии це- если же из­вестны Ni/Np и ri£, то из выраже­ний (5.95), (5.100) и (5.101) не­трудно найти соответственно Я*, Заметим, что в пределах рассмат­риваемых нами значений х и /* зависимость между х и Ni/N₀

в⁹\ I близка к линейной.

/ Вычисления для трехуровне-

Ц75

Ч 50

Й 25*-

вого лазера производятся анало­гичным образом, при этом исхо­дят из уравнения (5.24). Вслед­ствие ограничений на объем кни­ги мы не приводим здесь этих расчетов.

1^