5.4, Нестационарный режим работы лазера

Для того чтобы изучить нестационарный режим работы че­тырехуровневого и трехуровневого лазеров, необходимо решить соответственно уравнения (5.18) и (5.24). При этом, если за­даны начальные условия, то для данной временной зависимо­сти скорости накачки W_p(t) мы находим временные зависимо­сти _q(t) и N(t). Ниже будет рассмотрено несколько интересных примеров нестационарного режима работы лазеров. Поскольку уравнения, описывающие нестационарный режим, являются не­линейными относительно переменных q(t) и N{t) (действитель­но, они входят в эти уравнения в виде произведения _qN), общее аналитическое решение получить невозможно, поэтому мы огра­ничимся лишь обсуждением некоторых важных результатов.

5.4Л, Релаксационные колебания в одномодовых лазерах

Прежде всего рассмотрим случай, когда скорость накачки описывается ступенчатой функцией. Таким образом, предполо­жим, что W_p = 0 при КО и W_P(t) = W_p (где W_p не зависит от времени) при t > 0. Предположим сначала, что лазер генери­рует на одной моде, поскольку лишь при этом условии, строго говоря, справедливы уравнения (5.18) и (5.24).

В качестве характерного примера на рис. 5.24 приведены зависимости N(t) и q{t)> полученные путем численного расчета для трехуровневого лазера, такого, как рубиновый лазер. При расчетах использовались следующие начальные условия: N(0) = =5—Nt и q(0) —qu где qi—некоторое небольшое число фото­нов, необходимое лишь для того, чтобы возникла генерация. Следует заметить, что зависимость, аналогичную показанной на этом рисунке, будет также проявлять и четырехуровневый ла­зер, такой, как Nd : YAG, за исключением того, что в данном случае N(0) =0. Таким образом, если на рис. 5.24 начало вре­менной оси совместить с точкой t = 2 мкс, то кривые на этом

^{рисунке будут также представлять и четырехуровневый лазер.}

Укажем теперь на некоторые особенности кривых, представ- ленных на рис. 5.24: 1) число фотонов q(i) в резонаторе опи- сывается регулярной последовательностью уменьшающихся по амплитуде пиков (пичков) с временным интервалом между ними, равным нескольким микросекундам; выходное излучение будет вести себя аналогичным образом; такую генерацию "обыч- но называют режимом регулярных пичков; 2) инверсия населен- ностей N(t) осциллирует относительно стационарного значения N₀; 3) в соответствии с выражениями (5.29а) и (5.296) для че- тырехуровневого лазера или (5.38) и (5.41) для трехуровне- вого лазера как N(t), так и q(t) и конечном счете достигают своих стационарных значений. Осциллирующий характер кри- вых N{t) и q(t) объясняется тем, что, после того как измени- лась инверсия число фотонов изменяется не сра- зу, а с некоторой задержкой. Таким образом, когда N(t) про- ходит впервые через значение JV₀ (на рисунке это соответствует t я$ А мкс), достигается пороговое условие и лазер может на- чать генерировать. При этом в течение некоторого времени число фотонов в резонаторе возрастает относительно своего на­чального значения, определяемого спонтанным излучением, и благодаря продолжающемуся процессу накачки инверсия насе­ленностей N(t) в течение этого времени может непрерывно нарастать выше значения Однако, когда q(t) достигнет до­статочно большого значения (т. е. а ж an), Nit) начнет умень­шаться из-за высокой скорости вынужденного излучения. В мо-

Рис. 5.24. Временные зависимости полной инверсии V_aN(t) и числа фотонов q(t) в трехуровневом лазере. (Согласно работе [3].)

мент времени, когда q(t) достигает максимума, N(t) спадает до значения N₀. Это нетрудно показать с помощью уравнения (5.186) (четырехуровневый лазер) и (5.246) (трехуровневый ла­зер), поскольку при dq/dt= 0 мы имеем N = 1/У_аВт_с= N₀. Вследствие все еще большой скорости вынужденного излучения населенность N(t) продолжает уменьшаться после значения Nq. При этом лазер оказывается в условиях ниже порогового и чис­ло фотонов уменьшается до столь малого значения, что N(t) опять начинает расти иод действием накачки. В момент дости­жения пороговой населенности (t ж 6 мкс) мы имеем dq/dt=0 и q достигает своего минимального значения. Начиная с этого момента q нарастает вновь и повторяется описанный выше цикл. Следует заметить, что, поскольку в конце концов достигаются стационарные решения, определяемые выражениями (5.29) или (5.38) и (5,41), численный расчет подтверждает, что эти реше­ния соответствуют устойчивому режиму работы.

Для небольших колебаний около стационарных значений (т. е. приблизительно при t > 14 мкс на рис. 5.24) динамическое поведение можно описать аналитически. Действительно, если за­писать

N (t) — N₀~\~ 6N_f (5.71а)

q{t) = q*+bq (5.716)

и считать, что ЬМ <С Л^го и 69 <С #о, то в скоростных уравнениях в произведении Nq можно пренебречь 8N 8д, так что эти уравне­ния становятся линейными относительно переменных 6N и &q. Таким образом, ограничиваясь случаем четырехуровневого ла­зера, из (5.18) получаем

6N = —6N[W_p + (1/т)] - В (q$6N + N_Qbq),

6q = Bq^yjbN.

(5.72a) (5.726)

Заметим, что уравнение (5.726) получено из (5.186) с учетом того факта, что V_aBN₀- 1/т_с= 0. Подстановка (5.726) в (5.72а) дает следующее уравнение:

6q + [W_P + (1/т) + Bq₀]6q + (&Ntfiy_a)Sq = 0.

Если искать его решение в виде

6q = bq₀ exp (st),

^{то находим, что величина s удовлетворяет уравнению}

$² + (2//₀) s + ш² = 0,

^{где мы положили}

1//о= Wp + (1/т) -f Bq_Q]/2

_и

tf = B²N₀q₀V_a.

Решением уравнения (5.75), очевидно, является

5 = -1//₀±[(1//о)²-<а²]"'².

Сперва рассмотрим случай, когда

(1//₀) < со.

(5.73) (5.74)

(5.75)

(5.76a) (5.766)

_(5.77)

(5.78)

В этом случае квадратный корень в выражении (5.77) прини­мает мнимое значение, и мы можем написать s = — (1//о) ± ко', причем

^{ш' = [<о-9-(1/д2]'/*. (5.79)}

В этом случае в соответствии с выражением (5.74) величина 8q будет представлять собой затухающее гармоническое колебание

(недодемпфированное колебание), т. е. \

_{д0 = СехрГ(—f//o)sin(art + ^), (5.80) |}

₁

где С и ф определяются начальными условиями. Если подста- ь вить это выражение в уравнение (5.726), то найдем, что 6.V представляет собой затухающее гармоническое колебание. По- j лагая 1//о < со', получаем

6N « {(u'CjBq_uV_a) exi- t/t_Q) cos fa'l + ф). (5.31) \

Заметим, что 8N(t) опережает Halt) на 90°, как нетрудно было предвидеть из нашего предыдущего обсуждения, поскольку пре- жде чем можно будет наблюдать возрастание bait), сначала должна увеличиться инверсия 6N(t). '

Выражения (5.76) можно переписать в более удобной для вычислений форме, если использовать явные выражения для W₀ и <?о (5.29а) и (5.30). Предполагая, что N₀ < N,, в (5.76а) мо­жно пренебречь величиной W_p, и мы получаем

t₀ = 2ф, (5.82а)

© = К* - 1)/т_стр, (5.826) |

где x=W_p/Wao— число, показывающее, во сколько раз пре- вышено пороговое значение накачки. Заметим, что хотя по- стоянная времени затухания колебания t₀ определяется време- нем жизни верхнего период колебаний Т = 2я/со' «

« 2я/со определяется геометрическим средним т и временем жизни фотона т_с. В качестве первого примера выберем рассмо­тренный в разд. 5.3.6 Nd : YAG-лазер, накачиваемый на 50 % выше порога (х=1,5), и положим полные потери за проход равными у =0,12. Мы имеем х_с — L'/ctf?ж L/coy ж 14 не и из выражений (5.82) t_Q « 328 мкс и Т L 2я/а>' * 2п/«> ж 16 мкс.

Заметим, что в данном случае мы имеем to 1 /со, т, е., безус­ловно, выполняется условие (5.78) и тем самым подтверждается

справедливость приближения со' « со. В качестве второго при­мера рассмотрим типичный инжекционный GaAs-лазер с длиной резонатора L = 300 мкм, в котором две грани сколоты и дейст­вуют как зеркала резонатора. В соответствии с выражением

(4.50) коэффициенты отражения обоих зеркал в этом случае равны/? = [in — l)/(n+ I)]² « 0,3, где л —3,35 —показатель преломления GaAs.' следовательно, согласно определениям (5.7а) и (5.76), _Yi = Тг = — 1п/? = 1,2. Мы также будем счи- тать, что коэффициент потерь а = 60 см-' распределен вдоль длины полупроводника, и мы можем записать у, = aoL = 1,8. Отсюда имеем у = yi + [ (vi + 72) /2] = 3 и т_с = L' /с₀у - =nL/c₀y = l,l пс. Время жизни т уровня можно при-

нять равным 3 не. Полагая вновь а'=1,5, получаем 1₀ = 4 не и Т = 2л/о) = 0,5 не. В этом случае мы также имеем U ^> 1/©и условие (5.78), разумеется, выполнено.

Если условие (5.78) не выполняется, то оба решения для s, определяемые выражением (5.77), вещественны и отрицательны. В этом случае временная зависимость 8q(t) представляет собой суперпозицию двух экспоненциально затухающих релаксаций (задемпфированноеколебание). Чтобы получить условие 1/to > >ш в соответствии с выражением (5.82), необходимо, чтобы выполнилось неравенство

^t_c^{/t>4(jc» 1)М (5.83)}

откуда следует, что %_с должно быть сравнимо с т. Это условие обычно выполняется в газовых лазерах, в которых поэтому не проявляется пичковый режим. Если для примера выбрать Не— —Ne-лазер, генерирующий на собственном красном переходе ^ = 0,6328 мкм), то мы имеем 100 не. Выбрав резонатор длиной L = 50 см и связь на выходе Y2 = Ю^-2, а также прене­брегая всеми остальными потерями, получаем *у = Y2/2 = 5- 10~³, tc = L/cq-x = 322 не и условие (5.83) выполняется при любом значении х.

Прежде чем завершить данный раздел, следует заметить, что рассмотренное нестационарное поведение имеет место и в несколько ином случае, а именно когда лазер, генерирующий в стационарном режиме, испытывает внезапное возмущение (т. е. 6ЛГ = 6Л^Г₀ и 8q = bqo при t = 0, где &Nq и 6qo — две известные величины). Согласно проведенному выше обсуждению, возник­шее в момент времени t == 0 возмущение будет со временем за­тухать, как в недодемпфированном, так и в задемпфированном случаях. Поэтому стационарные решения Nq и qo, которые мы рассматривали в разд. 5.3, соответствуют устойчивому равно­весию.