5*3.6. Два числовых примера

Рассмотрим в качестве первого примера непрерывный Nd : YAG-лазер. Активной средой здесь являются ионы Nd³* в кристалле Y3AI5O12 (этот кристалл носит название YAG, сокра­щение англ. слов yttrium aluminum garnet [9, 10]). Ионы Nd^s+ замещают в кристалле некоторые ионы Y³⁺. Более подробно этот лазерный материал рассматривается в гл, 6. Здесь же до­статочно отметить, что такой лазер работает по четырехуровне­вой схеме и его длина волны излучения К= 1,06 мкм (ближ­няя ИК-область спектра). Предположим, что концентрация ионов Nd³⁺ составляет 1 % (т. е. 1 % ионов Y³⁺ замещен ионами Nd³+); это означает, что населенность основного состояния (т. е. самого нижнего уровня состояния ⁴h/2) равна N_s = 6-Ю¹⁹ ионов Nd³⁺/cM³. При этом значении концентрации время жизни верхнего лазерного уровня (зависимость времени жизни от кон­центрации обусловлена концентрационной зависимостью скоро­сти релаксации безызлучательного канала) составляет т = = 0,23-Ю-³ с. По сравнению с этим временем время жизни ниж­него лазерного уровня намного меньше и условие (5.25), несом­ненно, выполняется. Для того чтобы вычислить эффективное

сечение, заметим, что верхний лазерный уровень в действитель­ности состоит из двух сильно связанных уровней, разделенных расстоянием Д£ = 88 см~¹ (см. рис. 6.2). Генерация происходит между подуровнем R₂ верхнего уровня и подуровнем нижнего (⁴/ц/₂) лазерного уровня. Сечение этого перехода 0 = 8,8 X X Ю""¹⁹ см². Однако, поскольку между двумя подуровнями верх­него состояния имеется сильная связь, эффективное сечение в соответствии с формулой (2.170а) равно

(5.58)

где z₂i = ехр (—AE/kTyfl + ехр (-АЕ/Щ = 0,4 - функция распределения ' населенности для подуровня i?2 ^1}-

Рассмотрим теперь лазерную систему, показанную на рис. 5,14, и предположим, что накачка стержня осуществляется

6,35 № 1

_Г-

l=50cm

T_f*=0J5

Рис 5.14. Возможная схема резонатора непрерывного Nd : YAG-лазера.

_I

If Г­

к риптоновой лампой высокого давления с эллиптической конфи­гурацией осветителя. Типичная кривая зависимости выходной мощности Р (при многомодовой генерации) от входной мощно­сти Р_р, подводимой к криптоновой

со

лампе, должна иметь вид, представ­ленный на рис. 5.15 [11]. Если ис­ключить область входных мощно­стей непосредственно вблизи порога, то экспериментальные точки на

^{рис. 5.15 действительно показывают}

^{Я = 53(Р}_д^/Р_пор^-1).

^{линейную зависимость выходной мощности от входной в соответствии с формулой (5.33). Наличие нели­нейного участка вблизи порога ско­рее всего обусловлено фокусирую­щим действием эллиптического осве­тителя (см. разд. 3.2.3 в гл. 3), так как вследствие этого генерация вна­чале возникает только в центре ла­зерного стержня. Экстраполяция ли­нейного участка кривой дает для пороговой мощности накачки значение Р„}_ор ^{= 2,2 кВт. Этот уча­сток может быть описан следующим выражением:}

_(5.59)

Теоретическую зависимость выходной мощности нетрудно полу­чить из (5.33), если учесть, что генерация происходит по всему сечению стержня, т. е. мы можем положить А_е « А =0,31 см². Используя приведенные выше значения т и о₂и получаем

¹⁾ Выражаю признательность интересную особенность.

д-ру Ханне, указавшему автору на эту

Is — hv/a₂[t =2,33 кВт/см², а поскольку Y2 = — lni?₂= 0,162, то в соответствии с выражением (5.33) находим Р= ЩР_Р/Р_В„-— 1), что хорошо согласуется с экспериментальной кривой.

Чтобы можно было сравнить значения пороговой мощности (Р„ор=2,2 кВт) и дифференциального КПД (п* = 2,4%), по­лученные экстраполяцией экспериментальных данных, с соответ­ствующими теоретическими значениями, необходимо знать вели­чину у, точнее v,. В данном случае, поскольку vi — 0. выраже­ние (5.35) с помощью (5.8) можно записать в виде

- (In/?₂)/2 +у_; = (Av/Av)(/\_IopM/_s), (5,60)

где R₂ — 1 — й2 — T₂« 1 — T₂ — коэффициент отражения вы- ходного зеркала. Поскольку хорошее многослойное зеркальное our покрытие имеет коэффициент поглощения

меньше 0,5%, мы пренебрегли здесь по­глощением зеркала а₂. Если провести не­сколько измерений пороговой мощности

накачки при различных коэффициентах отражения зеркала R₂₎ то должна полу­читься линейная зависимость Р_пор от —In i?₂- Именно такая зависимость и на­блюдается в эксперименте, как это вид-5 ♦ s но из рис. 5.16. Экстраполяция прямой линии на рис. 5,16 до значения Рпор = ~ Рис. 5,16. Пороговая определяет в соответствии с (5.60) вели-мощность накачки как чину внутренних потерь. Таким способом функция коэффициента мы получаем yi -0,038 и, следователь-

_{°Twno'кбх^ V"°} ^н0 _{полные потери у = {у2/2)+ yt =}

^{ю 1 И} =0,1192.

Поскольку внутренние потери известны, из выражения (5.36) можно найти КПД накачки %. Определим дифферен­циальный КПД ть=2,4% из кривой на рис. 5.11 и, выбрав _Ч4_ ! »-yi/2y= 0,679 и % -ХрА= 0,84 (где Ь- 1,06 мкм,

^{а = 0,89 мкм волны первой полосы накачки Nd :}

:YAG; см. рис, 3.5,6), получаем tin =4,2%, что вполне соответ­ствует рассматриваемому типу системы накачки (см. также

табл. 3.1 в гл. 3). Если известны полные потери, то можно также рассчитать пороговую инверсию населенностей. Из соотношения

(5.26) находим

М_с = 4,5 • 10¹⁶Nd³⁺ ионов/см³. (5.61)

Таким образом, JV_e/JV= 7-10-⁴ , т. е. действительно инверсия населенностей составляет лишь очень небольшую долю полной

_{населенности.}

Вычислим теперь оптимальное пропускание выходного зер­кала в случае, когда накачка в три раза превышает пороговую (х = 3)₅ т. е. когда входная мощность, подводимая к лампе, со­ставляет 6,6 кВт. Из выражения (5.45) с учетом (5.27) и (5.31) тогда следует, что х_мня = x{y/y_t) =9,4. Таким образом, из (5.46) и (5.44) получаем (у₂) от = 0,157, что соответствует ве­личине оптимального пропускания (Г^опт ~ 14,5%. Эта вели­чина очень близка к значению пропускания зеркала, используе­мого в рассматриваемом примере.

В качестве последней задачи вычислим среднюю выходную мощность лазера, работающего в режиме одной моды ТЕМоо при входной мощности накачки лампы Р_р = 10 кВт. Прежде всего из (4.106) находим, что размер пятна на плоском зеркале резонатора, показанного на рис. 5,14, составляет ш₀ = [(/? — -QK/я] = 0,73 мм, где R - радиус кривизны вогнутого зер­кала, a L —длина резонатора. Предположим, что для осущест­вления генерации на моде ТЕМоо в резонатор вблизи сфериче­ского зеркала помещена круглая диафрагма достаточно малого диаметра 2а, чтобы предотвратить генерацию на моде ТЕМкь Следовательно, полные потери этой последней моды должны достигать по крайней мере величины у' — ?(Ро/Рпор)⁼0,54, а дифракционные потери из-за введения диафрагмы должны со­ставлять уа = у'—у = 0,42. Поэтому дифракционные потери за полный проход резонатора равны 2y_d = 0%4, что в соответствии с (5.7в) при полном проходе резонатора дает потери 7Л =57%. Чтобы найти требуемый размер диафрагмы, заметим, что по­тери после полного прохода резонатора, показанного на рис. 5.14, оказываются такими же, как и при одном проходе в симметричном резонаторе, образованном двумя одинаковыми зеркалами с радиусами кривизны R = 5 м, расположенными друг от друга на расстоянии L_s = 2L = 1 м, и с диафрагмой внутри резонатора диаметром 2а. Из рис. 4.37, б видно, что, по­скольку g = Q,8 и потери должны составлять 57 %, необходимо, чтобы N = a²/lis— 0,5, откуда получаем размер диафрагмы _а =0,73 мм. При этом из рис. 4.37, а мы видим, что при такой диафрагме мода ТЕМоо эквивалентного симметричного резона­тора имеет потери, равные 28 %. Поэтому они также равны ди­фракционным потерям нашего резонатора за полный проход, а это означает, что в соответствии с (5.7в) потери за один проход равны y_d « 0,164. Таким образом, полные потери моды ТЕМоо возрастают до у' = 1 + уа = 0,283 и пороговая мощность на­качки должна быть равной Р^_ор = 5,2 кВт. Из (5.33) получаем

следующее среднее значение выходной мощности при Р = 10 кВт: Р = 58(Л^/Л_е)[(Р_р/Р^/_пор) - 1] = 1,45 Вт, где

А'_е =nwy2 = 0,84 мм². Однако следует заметить, что увеличе­ние радиуса кривизны зеркала и длины резонатора позволяет получить значительно большую площадь моды ТЕМоо» по-види­мому, вплоть до А'_е = 10—15 мм². В этом случае можно до­биться значительно более высокой выходной мощности в ре­жиме генерации ТЕМоо моды, а именно до 20—30 Вт.

_Jl

3t

то

1^140 CM

£ its'

l-175 CM

Рис. 5.17, Возможная схема резонатора непрерывного СОг-лазера с попереч­ным разрядом.

В качестве второго примера рассмотрим СОг-лазер высокой мощности, работающий по схеме рис 5.17 и имеющий неустой­чивый конфокальный резонатор положительной ветви. Длина резонатора L = 175 см, а длина активной среды I = 140 см. Как

показано на рисунке, возбуждение в газе СОг осуществляется электри­ческим разрядом между двумя пло­скими электродами (см. также рис. 6.19). На рис. 5.18 представле­на типичная зависимость выходной мощности лазера Р от входной мощ­ности Р_р, подводимой к электриче­скому разряду [13]. Эксперимен­тальные точки можно аппроксими­ровать выражением

^{Р = 6,66 (PJP}_nop ^{- 1), (5.62)}

где Р дается в киловаттах, а Люр — пороговая входная мощность, полу­ченная экстраполяцией (A,_0P« « 44 кВт).

Поскольку С0₂-лазер действует по четырехуровневой схеме, можно сравнить выражения (5.62) и (5.33). Для этого должно быть известно пропускание Т₂ выходного зеркала. В прибли­жении геометрической оптики получаем [см. (4.147)]

^Т₂^{= (М2 -1)/М2 = 0,45.}

(5.63)

Здесь M = Ri/R₂= (1,35) — увеличение за полный проход резо­натора (R\ и i?₂ - радиусы кривизны соответствующих зеркал). Для моды низшего порядка волновая теория (см. рис, 4.45) дает Т₂ = 0,2. Выберем значение Г₂, полученное в приближении гео­метрической оптики, так как в нашем случае оно ближе отве­чает реальной ситуации благодаря следующим двум обстоятель­ствам: 1) эквивалентное число Френеля достаточно велико (Л/_экв = 7,4) и, как ожидается, потери нескольких поперечных мод сравнимы но величине (см. рис. 4.44); 2) накачка в лазере осуществляется при значительном превышении над порогом (в 2,8 раза при выходной мощности лазера 12 кВт; см. рис. 5.18), так что в генерации может действительно участвовать большин­ство из упомянутых выше мод. В действительности в последую­щем расчете мы покажем, что значение Т₂, полученное в при­ближении геометрической оптики, лучше согласуется с экспери­ментом, чем то, которое было вычислено из волновой теории. Сравнивая теперь выражения (5.62) и (5.33) с учетом значения Т₂ = 0,45, находим A_eI_s = 22,3 кВт. Диаметр пучка в резонаторе лазера равен (см. также рис. 4.41,6) D = 2Ма₂ = 7,6 см, от­куда А_е = л0²/4ж 45 см* и, следовательно, h~ 500 Вт/см². Это значение хорошо согласуется с теоретическими оценка­ми [14].

Используя данные, приведенные на рис. 5.18, вычислим те­перь (ненасыщенный) коэффициент усиления go активной среды при входной мощности накачки Р_р « 140 кВт. Действительно, мы имеем

go = N<₂<r (Р_р/Р_шр) ЛГ₂₀а = (Р_р/Рпор) (Y/0; (5-64)

здесь Л^г₂ — населенность уровня 2 при Р_р= 140 кВт, a N₂q — на­селенность этого уровня при Р_р = Рпор. Чтобы найти у, предпо­ложим, что потери на зеркале (за счет поглощения и рассеяния) составляют 2 %, а внутренние потери отсутствуют. В этом слу­чае из выражений (5.7) и (5.8) получаем у₂ = 0,598, у\=0, yi =0,02 и у = 0,319. Подставляя последнее значение в выраже­ние (5.64), находим величину go = 6,3-10~³ см^-1, которая очень

хорошо согласуется со значениями, измеренными для этого типа лазеров [15].

Сравним теперь экспериментальное значение дифферен­циального КПД, полученного из рис. 5.18, с теоретически пред­сказываемым. Положим % « 0,8 (см. разд. 3.3.4), ц_с = У2/2у = = 0,94, г)_а=1 и Чэ=0А (см. рис. 6.10). Тогда из выражения (5.37) получаем ri_s = 0,3, что существенно больше эксперимен­тального значения, определенного из рис. 5.18 (t\$ ~ 0,21). Это расхождение можно объяснить как минимум тремя различными обстоятельствами; 1) данные на рис. 5.18 относятся к системе, работающей частично по замкнутому циклу, и в этом случае продукты разряда (большей частью СО и 0₂) имеют склонность накапливаться в газовой смеси и уменьшать тем самым КПД накачки; 2) коэффициент заполнения ц_Л может быть заметно меньше единицы; 3) сравнительно высокая температура газо­вой смеси может приводить к заметной населенности нижнего лазерного уровня и, следовательно, к уменьшению КПД лазера. По оказываемому воздействию последнее обстоятельство экви­валентно предположению о более медленной релаксации ниж­него лазерного уровня, т. е. необходимо учитывать также эф­фективность релаксации нижнего лазерного уровня. Из приве­денных выше соображений следует, что теоретическое значение дифференциального КПД % « 30 % представляется вполне ра­зумным и действительно уже имеются сообщения о С0₂ -лазерах высокой мощности с экспериментально полученным КПД, кото­рый имеет близкое к этому значение,

В заключение вычислим оптимальную связь на выходе ла­зера при Р_Вх = 140 кВт, т. е. когда мощность накачки лазера в х = 2,8 раза превышает пороговое значение на рис. 5.18. По­скольку Л'мнн = х(у/уд =44,6, из (5.46) получаем (72) опт = 0,23, что соответствует (Г₂)опт = 20 %. Отсюда следует, что резона­тор чрезмерно открыт. Это, возможно, сделано преднамеренно, поскольку, хотя это и приводит к небольшому (~ 10 %) умень­шению выходной мощности лазерного пучка, зато улучшает его фокусирующие свойства. Действительно^ увеличение Т₂ дости­гается за счет увеличения числа М и, следовательно, ширины кольца выходного пучка [ж (М—1)а2*,см. рис. 4.41]. Это при­водит к улучшению свойств пучка при фокусировке.

5.3.7. Затягивание частоты и предел монохроматичности

Рассмотрим теперь два явления, которые нельзя описать в рамках используемого до сих пор приближения скоростных уравнений. Однако эти явления играют очень важную роль и заслуживают того, чтобы быть здесь представленными. Обра­тимся сначала к рис. 5.19, на котором приведены резонансные кривые как линии лазерного перехода (с центром при vo и ши­риной Avo), так и моды резонатора (с центром при х_с и шириной &v_c). Предположим, что генерация происходит на этой моде и что нам нужно найти частоту генерации v_reH, а также ширину линии AvreH выходного спектра.

Величину Vren можно вычислить в рамках полуклассического приближения, В работах [1,16] показано, что v™ равна некото­рому промежуточному значению между vo и v_r. Таким образом, v_m, не совпадает с \>, а «затягивается» по направлению к цен­

тральной частоте лазерного перехода vo. Для неоднородно уши­ренной линии частота генерации в первом порядке (и точно для однородно уширенной линии) определяется средним взвешен­ным двух частот: vq и v_c. При этом весовые множители оказы­ваются обратно пропорциональными соответствующим ширинам линий. Таким образом, мы имеем

(5,65)

v₀/Av₀ + v_c/Av_c

1/Avo + 1/Av_c

Величина Av₀ может иметь значения в области от ~ 1 ГГц для доплеровски уширенного перехода в видимой области спектра до 300 ГГц в твердотельных лазерах (см. табл. 2.1). Однако в случае резонатора₁ дайной

_Г

_I'-

¥

.... ^.__»натора лбиной г м величина А\_с = 1 /2лх_с = = yA^2nL [(см. (4.64) И (5.136) ] может принимать значения от ~ 1 МГц до не­скольких десятков мегагерц (в случае когда у изменяется в пределах от ~ 10~"², что яв­ляется ТИПИЧНЫМ ДЛЯ лазера С НИЗКИМ коэффициентом ус-иле-

ния, например для Не—Ne-ла-зера, до значения ~5-1(Н для

активных сред с высоким усилением). Таким образом, поскольку Av_c «С Avo, затягивание частоты, как правило, невелико.

Обратимся теперь к расчету ширины выходного спектра лазера, когда генерация в нем осуществляется лишь на указан­ной выше моде. Наименьшее значение ширины определяется шу­мами спонтанного излучения или, что одно и то же, нулевыми флуктуациями поля лазерной моды. Поскольку эти флуктуации можно учесть лишь с помощью полного кваитовомеханического рассмотрения (см. раздел 2.4.2), мы не можем определить эту предельную ширину в рамках используемого нами приближения. Можно показать, что хотя случайным флуктуациям подвержены и амплитуда, и фааа поля нулевых колебаний, спектральное уширение выходного излучения обусловлено главным образом

случайными флуктуациями фазы, в то время как очень неболь­шие флуктуации величины выходной мощности вызываются флуктуациями амплитуды поля нулевых колебаний. Это можно объяснить, обращаясь к тому факту, который рассматривался в начале данной главы, что количество фотонов в резонаторе лазера, а следовательно, и выходная мощность весьма нечувст­вительны к тому числу фотонов qi, которые изначально имеются в резонаторе, чтобы вызвать процесс спонтанного излучения.

Можно также показать, что спектр испускаемого света имеет лоренцев контур и его ширина (на половине максимального значения) при пренебрежении внутренними потерями дается вы­ражением [17]

AVren - _N%__Ni р . (б-ЬВ)

где Р — выходная мощность. Выражение (5.66) с дополнитель­ным множителем 2 в правой части обычно называется форму­лой Шавлова и Таунса. Впервые она была опубликована этими авторами в их оригинальной работе, в которой был предложен и сам лазер [18].

Даже при умеренных значениях выходной мощности (напри­мер» при Р = 1 мВт, что соответствует маломощному Не—Ne-лазеру) величина AvreH, определяемая выражением (5.66), оказы­вается столь малой, что в действительности фактическая ширина линии AvreH определяется другими механизмами спектрального уширения. С учетом N₂ « (N₂- N\) из формулы (5.66) видно, что Av_reH/vreH = 2n²h(kv_c)²/P'_y отсюда при Av_c = 10⁷ Гц полу­чаем AVreH/VreH « Ю^-15, ДЛЯ ТОГО ЧТОбЫ понять СМЫСЛ СТОЛЬ

высокой спектральной чистоты, посмотрим, какие требования следует предъявить к стабильности длины резонатора, чтобы стабильность частоты резонатора v_c поддерживалась с указан­ной выше точностью. Из соотношения (4.3) при п = const нахо­дим AL/L = — Avc/v-c'» Ю-¹⁵. Следовательно, при I = 1 м = = Ю¹⁰ А мы имеем |AL| ж 10~⁵ А. Это означает, что изменения длины на величину, которая в ~ 10⁵ раз меньше типичного раз­мера атома, уже достаточно для того, чтобы вызвать сдвиг ре­зонансной частоты v_c и, следовательно, частоты генерации %'_Ген, которая сравнима с шириной линии генерации, определяемой выражением (5.66). Таким образом, на практике предельная мо­нохроматичность излучения определяется, по всей видимости, изменениями длины резонатора, обусловленными выбрациями или тепловыми эффектами [19]. Если оба зеркала резонатора закреплены на массивных стержнях, изготовленных из инвара, то акустические колебания могут приводить к значениям Av_rCH от нескольких единиц до нескольких десятков килогерц (Av_reH/VreH = 10~¹⁰—10~^!|). Изменение температуры резонатора ДГ дает вклад Av_rtH/v_reH = аДГ, где а - коэффициент расшире­ния материала стержней, на концах которых закреплены зер­кала резонатора. Для инвара а « 10г⁷/К и, следовательно, Avren/vren ⁼ 10^-7АГ. Таким образом, даже такое изменение тем­пературы на величину 10~³ К приводит к уходу частоты моды (а значит, и к изменению частоты выходного излучения лазера), которое больше уширения линии, обусловленного акустическими колебаниями. Однако, используя методы активной стабилизации частоты резонатора, можно значительно уменьшить влияние акустических колебаний (кратковременная стабильность часто­ты) и температурных изменений (долговременная стабильность частоты). Эти методы мы рассмотрим в следующем разделе.