5.2.2. Трехуровневый лазер

Исследование трехуровневого лазера проводится так же, как четырехуровневого. Обращаясь к рис. 5.2, предположим снова, что имеется лишь одна полоса поглощения накачки, и если пе­реход 3-^2 достаточно быстрый, то можно опять положить iV₃ « 0. При этом скоростные уравнения можно записать почти так же, как и в случае четырехуровневого лазера, а именно

N\ ~\~ N2⁼⁼ Л/"f, (5.23а)

дг, = w_pN_x - Bq{N₂ — N_x) — NJx, (5.236)

q = V_aBq(N₂ - #,) - q/x_e. (5.23в)

Используя (5.17), эти уравнения нетрудно свести лишь к двум уравнениям в переменных N (t) и q(t):

N = W_p{N_t — N) —2BqN - (M_t+ N)fx, (5.24a)

q = (V_aBN - l/t_e) q. (5.246)

Эти уравнения совместно с явными выражениями для В и т_с [см. (5.13)] описывают как установившееся, так и динамическое

поведение трехуровневого лазера. что скоростные ура-

Цыстщя релаксация

в нения для фотонов в случае четырехуровневых (5.186) и трех- уровневых (5.246) лазеров одинаковы. Однако скоростные урав- нения для инверсии населенностей несколько отличаются, В частности, член, отвечающий вынужденному излучению, в случае трехуровневого лазера запи- сывается в виде —2BqN, тогда как шштшш j для четырехуровневого мы имеем —BqN. Различие, обусловленное на- личием в первом случае множите- ля 2, возникает из-за того, что при излучении одного фотона в трех- уровневом лазере инверсия населен- _{Рис 5>2> Схема эне}р_Гетических ностей изменяется на 2 (N₂ умснь- уровней трехуровневого лазе- шается на единицу, a JV, увеличи- pa.

вается на единицу), тогда как в че­тырехуровневом лазере она изменяется на единицу. Действи­тельно, в последнем случае N^ уменьшается на единицу, в то время как благодаря быстрой релаксации 1->0 населенность N_t остается практически неизменной (т. е. равной нулю).

5.3. Непрерывный режим работы лазера

В данном разделе мы изучим работу лазера при стационар­ной накачке (т. е. когда скорость накачки W_p не зависит от вре­мени). Поскольку, как мы увидим ниже, стационарная накачка приводит к стационарному режиму генерации, этот случай мож­но рассматривать как непрерывный режим работы лазера.

5.3.1. Четырехуровневый лазер

Прежде чем приступить к подробному рассмотрению непре­рывного режима работы лазера, следует вывести условие, вы­полнение которого необходимо для того, чтобы в четырехуров­невом лазере могла быть получена непрерывная генерация. С этой целью заметим, что в отсутствие генерации стационарная населенность уровня 1 должна определяться уравнением, кото­рое выражает не что иное, как условие равновесия населен­ностей, приходящих на уровень 1 и уходящих с него: Ni/n = = N₂/x2u где T2i — время жизни перехода 2-> 1. Для осущест­вления генерации необходимо, чтобы удовлетворялось неравен­ство Л^г₂ > N\. Согласно предыдущему выражению, это означает, что

D

т, <т_а1. (5.25)

Если данное неравенство не выполняется, то работа лазера воз- можна в импульсном режиме лишь при условии, что длитель- ность импульса накачки короче времени жизни верхнего уровня или сравнима с ним¹». Возникнув, лазерная генерация будет продолжаться до тех пор, пока число атомов, накопившихся на нижнем уровне, не станет для снятия инверсии

селенностеи. Поэтому такие лазеры называются лазерами на са­моограниченных переходах.

Если Г, постоянна и достаточно велика и если условие

(5.25) справедливо, то в конечном счете будет выполнено усло­вие стационарной генерации. Проанализируем теперь это усло­вие в предположении, что tj t₂i, т. е. мы можем считать спра­ведливыми уравнения (5.18).

Рассмотрим сначала пороговое условие генерации лазера. Предположим, что в момент времени / = 0 в резонаторе вследствие спонтанного испускания присутствует некоторое не- большое число фотонов щ. При этом из уравнения (5.186) сле- дует, что для того, чтобы величина ц была дол- жно выполняться условие V_aBN> \/%_с. Следовательно, генера- ция возникает в том случае, когда населенностей N

достигнет некоторого критического значения Nc, определяемого выражением

N_c=lfV_aBT_c = yfcrl, (5.26)

при выводе которого использовались выражения (5.13). При этом критическую скорость накачки Wp мы получаем из уравне­ния (5.18а), полагая в нем » = О, N = N_c и q= 0. Таким обра­зом, мы видим, что критическая скорость накачки соответствует ситуации, когда полная скорость накачки уровней W_cp{Nt— -N_e) уравновешивает скорость N_c/t спонтанного перехода

^{с уровня 2, т. е.}

П^ср = NefWt- Ne) т « y/alN_tx, (5.27)

где предположили, что и использовали соотношение

(5.26). Физический смысл условия (5,26) можно также понять,

^{если переписать его в виде}

i) Собственно говоря, для работы лазера необходимо, чтобы достаточно коротким был фронт импульса накачки, при этом «лишняя» энергия накачки уйдет на нагрев активной среды. Это не всегда плохо: именно таким обра- зом работают многие лазеров на парах где длитель- ный (1-5 мкс) импульс электрической накачки вызывает своим фронтом короткий (10-50 не) импульс генерации, а остальная энергия служит для поддержания рабочей температуры (1500-1650 °С) в трубке. - Прим. перев.

_{(1 - Тх) (1 - Г2) (1 — а)}² _{(1 - Ttf ехр (2aNJ)= 1. (5.28)}

Это условие [а следовательно, и (5.26)] означает, что М_с дол­жно быть достаточно большим, чтобы усиление скомпенсиро­вало полные потери в лазере [см. также условие (1.9), в кото­ром для простоты не учитывались потери а и 7Y|.

Если W_p> Wc_P, то число фотонов q будет возрастать от ис­ходного значения, определяемого спонтанным излучением, и если W_p не зависит от времени, оно в конце концов достигнет некоторого постоянного значения Это стационарное значение и соответствующее ему стационарное значение инверсии No по­лучаются из уравнений (5.18), если в них положить ft =q = 0. Таким образом, мы имеем

N_u = l/V_aBx_c = N_c, qo = V_ax_c[W_p(N_t-N₀)-No!r].

(5.29a) (5.296)

Эти уравнения описывают непрерывный режим работы четы­рехуровневого лазера. Рассмотрим их более подробно. Прежде всего следует заметить, что уравнение (5.29а) показывает, что равенство No = N_c выполняется даже при Wp > > Wc?. В стационарных условиях ин­версия населенностей N₀ всегда равна критической инверсии N_c. Чтобы луч­ше уяснить физический смысл дан­ного утверждения, предположим, что скорость накачки возрастает от крити­ческого значения №_ср. При W_p = №_ср

МЫ имеем, очевидно, N — N_c И q₀ = 0. ^{Рис 5}-³- Качественная кар-Fr.™ жо _Wp > ТР_ср,_{да ш} ййдот^я „аХнностей⁰"^ И 1И

(5.29), Яо линейно возрастает с ростом числа фотонов q в _резона-К в то время как инверсия населен- торе как функция скости

^{ностей N л остается постоянной и рав- накачки «V}

ной критической. Иными словами, ко­гда скорость накачки выше критической, в резонаторе лазера увеличивается число фотонов (т, е. увеличивается электромаг­нитная энергия в резонаторе), а не инверсия населенностей (т. е. энергия, запасенная в активной среде). Это поясняется на рис. 5.3, на котором представлены зависимости величин N ж q от скорости накачки W_p. Заметим, что при накачке ниже поро­говой 9—0» и из уравнения (5.18а) получаем N — [W_pt/{\-\-+ W_px)]N_t. По поскольку обычно выполняется условие N₀ = =N_c<Nu из формулы (5.27) мы находим, что F_cPt< I, т. е. W_P%< 1 и N увеличивается с W_p практически линейно. В каче­стве второго замечания укажем, что с учетом формул (5.27) и (5.29а) выражение (5.296) можно записать в эквивалентном

^{виде: ■]}

ft = (vm (%J%) (х - 1), (5.30) }

где j

^{x = W}_p^/W_cp ^{4 (5.31) J}

— относительное превышение скорости накачки над пороговой \ Заметим, что как для оптической, так и для электрической на­качки можно записать

х = Р_р/Р_вор, (5,31 а)

где Рр - мощность электрической накачки (приложенная к лам­пе или к разряду), а Рпор — ее пороговое значение. С помощью выражений (5.22), (5.26) и (5.31а) уравнение (5.30) можно переписать в несколько более удобном виде:

д₀ = (А_еу/а)(х_с/х) (Р_р/Р_тр - 1). (5.32)

Прежде чем продолжить обсуждение, следует подчеркнуть, что когда мощность накачки превышает пороговую даже на весьма скромную величину, число фотонов qo в резонаторе обыч­но уже очень велико. В качестве примера рассмотрим числовые значения, соответствующие одномодовому непрерывному Nd : : YAG-лазеру (см. также разд. 5.3.6): ^ = 0,5 мм², Y = 0,12, сг == 3,5-10~¹⁹ см² и х = 0,23 мс Если положить Z/ = 50 см, то получим хс ж 14 нс и из (5.32) имеем qo ж 10^й [(Рр/Рпор) — 1]. Таким образом, даже если мы выберем Р_Р/Р_Пор — 1,1, то будем иметь около 10¹⁰ фотонов в резонаторе. Это означает, что в ура­внении (5.1 г) сразу за порогом член V_aB(q + l)N_2j описываю­щий как вынужденное, так и спонтанное излучение, вне всякого сомнения можно аппроксимировать выражением V_aBqN_2% что мы и делаем в настоящем рассмотрении. Это также означает, что число фотонов в установившемся режиме весьма нечув­ствительно к выбранному нами конкретному значению числа начальных фотонов в резонаторе qi в момент времени t = 0, ко­торые необходимы для возникновения генерации. Как мы уви­дим в разд. 5.3.7, эта нечувствительность оказывает сильное влияние на выходные свойства лазерного пучка.

Получим теперь выражение для выходной мощности. Из фор­мул (5,20) и (5.32) имеем

^а-v. (\аДО(*УЛ|о. - ^х); (⁵-³³)

^]) В советской литературе величину х часто называют «числом поро­гов». - Прим, персе.

здесь I_s = hv/ox — интенсивность насыщения усиления для че­тырехуровневой системы [см. (2.146)]. Это выражение сргла­суется с тем, которое впервые получил Ригрод [5] для случая, когда зеркало имеет стопроцентное отражение. Заметим также, что зависимость Р₂ от Р_р имеет вид прямой линии, которая пере­секает ось Рр в точке Рр = Рпор. Поэтому мы можем определить дифференциальный КПД т|₅ следующим образом:

ns^dPz/dPp, (5.34)

причем эта величина оказывается постоянной для данной лазер­ной конфигурации. С помощью предыдущего выражения и урав­нений, полученных в гл. 3, можно получить полезное и поучи­тельное выражение для %, которое применимо в случае как оп­тической, так и электрической накачки. Из выражения (5.27) с учетом формулы (3.26) или (3.43) и полагая N_g=N_b а так­же V = Al, где А — площадь поперечного сечения активной среды» получаем

AI_S.

(5.35)

Из трех последних выражений видно, что % можно предста­вить в наглядном виде, который позволяет разделить различ­ные причины снижения КПД (ср. с выражением, приведенным в книге 16]):

ц»=victim; (⁵-³⁶)

здесь ц_р — КПД накачки; к\_с — у2/2у можно назвать КПД свя- зи на выходе резонатора (ее значение < 1, причем единица до- стигается при у = у; = 0); г\а =А_е/А— коэффициент заполне- ния сечения активной среды; _л, = hv/fiv_p - квантовая эффек- тивность л азера. -.-.аа^

В качестве заключительного комментария к этому разделу мы вновь подчеркнем, что полученные нами результаты спра­ведливы лишь тогда, когда можно считать, что уровень 1 яв­ляется пустым. Это выполняется в случае, когда х\ <С т, где х\ — время жизни уровня 1. Если т* сравнимо с т, то предыдущие уравнения необходимо видоизменить. Особенно простой случай реализуется тогда, когда время жизни Т21 (излучательное плюс безызлучательное) перехода 2->1 равно полному времени жиз­ни уровня 2 (т. е. T2g->oo). В этом случае после несколько уто­мительных, но простых вычислений можно показать, что выра­жения (5.26), (5.29а), (5.30) и (5,33) остаются справедливыми, в то время как соотношение (5.27) в рамках приближения N_c <С N_t принимает вид

_{W —} ^Мс

(5.37)

Можно также показать, что в правой части формулы (5.36) по­является пятый множительлограничивающий КПД, щ = (т­— ti)/t. Этот член можно назвать КПД релаксации нижнего лазерного уровня.