5.2. Скоростные уравнения [2, 3]

5.2.1. Четырехуровневый лазер

Прежде всего рассмотрим лазер, работающий по четырех­уровневой схеме и имеющий для простоты лишь одну полосу по­глощения накачки (полоса 3 на рис. 5.1). Впрочем, последую­щий анализ останется без изменения, даже если мы будем иметь дело с более чем одной полосой (или уровнем) поглоще­ния накачки, при условии, что релаксация из этих полос на верхний лазерныйуровень 2 происходит очень быстро. Обозначим

населенности четырех уровней О, 1, 2 и 3 соответственно че­рез N_g, N_u N₂ и Л^г₃. Будем считать, что лазер генерирует только на одной моде резонатора. Пусть q - полное число фотонов в резонаторе. Считая, что переходы между уровнями 3 и 2 и уров­нями 1 и 0 являются быстрыми, можно положить Ni» АГ₃ ж 0. Таким образом, мы имеем следующие скоростные уравнения:

N_g+N₂=N_t, (5.1а)

М₂ = W_pN_e- BqN₂ —Nj/x, (5, i б)

q — V_aBqN₂ - q/%. (5.1в)

Ms

быстрая релаксация

¹ 'Ямл

^Быстрая релаксация '0,N₃

Схема энергетических четырехуровневого ла­зера.

В уравнении (5.1a) величина Nit представляет собой полное чис- ло активных атомов (или молекул). В уравнении (5.16) слагае- мое ад учитывает накачку [см. уравнение (1.10)1. Явные выраже- ния для скорости накачки W_p как в случае оптической, так и электриче- ской накачки уже были получены в гл. 3. В том же уравнении член BoNo соответствует вынужденному излучению. Скорость вынужденного излучения W, как показано в гл. 2, действительно пропорциональна ква- драту электрического поля электро- магнитной волны и, следовательно, пропорциональна q. Поэтому коэффициент В можно рассматри- вать как скорость вынужденного излучения на один фотон в моде. Величина т представляет собой время жизни верхнего ла- зерного уровня и в общем случае определяется выражением (2 123). В уравнении (5.1в) член V_aBqN₂соответствует скорости изменения числа фотонов вследствие вынужденного излучения. Действительно, как мы уже видели, член в уравнении

(5.16) представляет собой скорость уменьшения населенности за счет вынужденного излучения. Поскольку каждый акт вынуж­денного излучения приводит к появлению фотона, скорость уве­личения числа фотонов должна быть равна VaBqNz, где V_a — объем, занимаемый модой внутри активной среды (точное опре­деление модового объема дано ниже). Наконец, член q/ъ [где т,- время жизни фотона (см. разд. 4.3)] учитывает уменьшение

числа фотонов из-за потерь в резонаторе.

Строгое определение объема моды V_a требует подробного рассмотрения, которое приводится в приложении Б. В резуль­тате мы имеем следующее определение V_a:

_{VQ= [ [Е(х> у z)/E0]*dV, (5.2)}

j а где Е (х, и. г) — распределение электрического поля внутри ре­зонатора, Е₀ — максимальное значение этого поля, а интегриро­вание производится по объему, занимаемому активной средой. Если рассматривается резонатор с двумя сферическими зерка­лами, то отношение Е(х, у, г)/£оравно вещественной части вы­ражения (4.95). Уместно привести в качестве примера симме­тричный резонатор, состоящий из двух зеркал, радиусы кривиз­ны которых много больше, чем длина резонатора. Тогда размер пятна моды w будет приблизительно постоянным по всей длине резонатора и равным значению wq в центре резонатора. Анало­гичным образом радиус кривизны эквифазных поверхностей R будет достаточно большим и волновые фронты можно считать плоскими. Тогда из выражения (4.95) для моды ТЕМоо полу­чаем

Е (x_f у у z)/E = ехр (— г²/ш cos (kz — (5.3)

здесь мы положили г² = х² + у². Из выражений (5.2) и (5.3) имеем

^{ту — tvud^JIj4}

где / — длина активной среды. При выводе этого выражения мы учли тот факт, что ф(г) является медленно меняющейся функцией по сравнению с kz, так что можно положить

\ cos²(fe- f)dz — (//2). Таким образом, появление четверки в

знаменателе выражения (5,4) является результатом следующих

двух обстоятельств: 1) наличие множителя 1/2 обусловлено тем, что мода имеет характер стоячей волны, так что в соответствии с приведенными выше рассуждениями (co$²(kz — ф)У = 1/2; 2) еще один множитель 1/2 появляется из-за того, что шо — это размер пятна для амплитуды поля £, в то время как размер

пятна для поля (т. е. для очевидно, в

раз меньше.

Прежде чем продолжить наше рассмотрение, следует заме­тить, что в выражении (5.1 в) пренебрегаетея слагаемым, учиты­вающим спонтанное излучение. В действительности же, как от­мечалось в гл. 1, генерация возникает за счет спонтанного излу­чения; поэтому следует ожидать, что уравнения (5.1) не дают правильного описания возникновения генерации. В самом деле, если в уравнении (5.1в) положить q = О в момент времени / = = 0, то мы получим q = О и, следовательно, генерация не смо­жет возникнуть. Для учета спонтанного излучения можно было бы снова попытаться, исходя из простого условия баланса» на­чать рассмотрение с члена Л^/тспонт, который в уравнении (5.16) входит в слагаемое ЛГ₂/т. При этом может показаться,

что в уравнении (5.1в) слагаемое, учитывающее спонтанное из­лучение, ДОЛЖНО быЛО бы ИМеТЬ СЛеДуЮЩИЙ ВИД: КйЛГгЛспонт.

Однако это неверно. На самом же деле, как показано в разд. 2.4.3 [см., в частности, выражение (2.115)], спонтанное из­лучение распределено в некотором частотном интервале и форма его линии описывается функцией g(Av). Однако в урав­нении (5.1в) член, учитывающий спонтанное излучение, должен включать в себя лишь ту долю этого излучения, которая дает вклад в рассматриваемую моду. Правильное выражение для этого члена можно вывести только из квантовомеханического рассмотрения электромагнитного поля моды резонатора. Полу­чаемый при этом результат является очень простым и поучи­тельным [4]. В случае когда учитывается спонтанное излучение, уравнение (5.1 в) преобразуется к виду

q = y_aB(q+ \)N_t — qf%_e. (5Лг)

4

_\

_I

Все это выглядит так, как будто члену, отвечающему вынуж- денному излучению, мы добавили «дополнительный фотон». Од- нако ради простоты мы не будем в дальнейшем вводить такого дополнительного члена, связанного со спонтанным излучением, а вместо этого предположим, что в начальный момент времени в резонаторе уже присутствует некоторое небольшое число фо- тонов qi. Как мы увидим, введение этого небольшого числа фо- тонов, которое необходимо лишь для возникновения генерации, в действительности никоим образом не сказывается на после- дующем рассмотрении. } Займемся теперь выводом явных выражений для величины ¹ В, которая входит в уравнения (5.16) и (5.1 в). Строгое выра- жение для этой величины выводится снова в Приложении Б. Для большинства практических целей подходит приближенное выражение, которое можно получить, исходя из простых сооб- ражений. Для этого рассмотрим резонатор длиной £, в котором находится активная среда длиной / с показателем преломле- ния п. Можно считать, что мода резонатора образована супер- позицией двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Пусть / — интенсивность одной из этих волн. В соответствии с выражением (1.7) при прохождении волны че- рез слой dz активной среды ее интенсивность изменяется на ве- личину dl—a(N₂ — Nx)I dz, где 0 — сечение перехода на ча- I стоте рассматриваемой моды резонатора. Определим теперь сле- дующие величины: 1) 7\ и Т₂ — коэффициенты пропускания двух зеркал резонатора по мощности; 2) а\ и а₂ — соответствующие относительные коэффициенты потерь на зеркалах; 3) Г,-отно- сительный коэффициент внутренних потерь за проход. Тогда изменение интенсивности Л/ за полный проход резонатора запи-

^{шется в виде}

^{А/ = {(1 - а, - Г,) (1 - 02 - Т}₂^{) (1 - Т,)2 X}

X ехр [2<т(ЛГ₂- Ni)l] - 1} /. (5.5)

—

Предположим далее, что потери на зеркалах одинаковы = й₂ = а) и столь малы, что можно написать 1 — а — л ж

(1 — а) (1 — Fi) и 1 — а — Г₂ ~ (1 — а) (1 — Г₂). При этом выражение (5.5), очевидно, преобразуется к виду

^{А/ = {(1 _} _в^{)2 (1 _} _Г^{,) (1 _ Т}₂^{) (J _} _Гг)² _Х

X exp [2ог (ЛГ₂^,) I] - 1} /. (5.6)

Прежде чем проследовать дальше, удобно ввести новые вели­чины v. которые можно представить как логарифмические по­тери за проход, а именно

Yi — ln(l — Ti), (5.7а)

Y2 — "~~* In (1 ^*2^'

Yi - - [in (1 - а) + In (1 - Г,)]. (5.7в)

Здесь yi и 72 — логарифмические потери за проход, обусловлен­ные пропусканием зеркал, a y_t - внутренние логарифмические потери Для краткости будем называть у, и у₂ потерями на про­пускание, a yi — внутренними потерями Как станет ясно в даль­нейшем, благодаря экспоненциальному характеру лазерного уси­ления Запись с помощью логарифмических потерь значительно более удобна для представления потерь в лазерах. Однако сле­дует заметить, что, хотя Y = - In (1 - Т) « Гдля небольших зна-чеений пропускания, для больших значений пропускания это не­верно. Приведем пример: если положить Г — 0,1, то получим V = 0,104, т. е. у « Г, в то время как для Г = 0,5 имеем у = = 0,695. Следует также заметить, что с помощью выражений

(5.7) можно определить потери за проход:

Y = Y* + (Yi + Ya)/2. (5.8)

Определив логарифмические потери у, подставим выражения (5.7) и (5.8) в (5.6). Вводя дополнительное условие

[о (N₂ - I - у] < 1, (5.9)

экспоненциальную функцию в (5.6) можно разложить в степен­ной ряд, и мы получаем

А/ = 2[ог(ЛГ₂—АГ,)/-у]/. (5.10)

Разделим обе части этого выражения на интервал времени А/, за который световая волна совершает полный проход резонатора,

т. е. на величину А/ = 2Z//c₀, где U определяется выраже­нием

Z/ = L + (rt-1)/. (5.11)

Используя приближение Ы/М « rf//d/, получаем

^{d//A=- [(а/Со/Г) (ЛГ}₂ ^{- JV,) - y^o/L'I /. (5.12)}

Поскольку число фотонов а в резонаторе пропорционально ин- тенсивности /, уравнение (5-12) можно сравнить с (5.1в). При этом получаем следующие выражения: ■ t у

5 = okofVaL' = oc₀fV, (5.13а)

x_c = L^f/yc_Q, (5 Л 36)

_где

V=*(L'ftV_a. (5.14)

Величину V мы будем называть эффективным объемом моды резонатора. Заметим, что формула (5 136) обобщает полученное в разд. 43 выражение для времени жизни фотона. Кроме того, выражение (5,14) для объема резонатора справедливо лишь приблизительно. На самом деле в Приложении Б что

в (5.13а) следует использовать более строгое выражение для К. а именно

F== п ^Г (E/E₀f dV + " (E/E₀f dV; (5.15)

j j

1 2

здесь первый интеграл берется по объему активной среды, а второй-по оставшемуся объему резонатора. Заметим, впрочем, что для симметричного резонатора с зеркалами большого ра­диуса кривизны оба выражения (5.14) и (5.15) дают

V = nw\L'IA. (5.16)

До сих пор наше рассмотрение было направлено на обосно­вание уравнения (5.1 в) и на вывод явных выражений для В и т, через измеряемые параметры лазера. Однако следует заметить,

^{что мы указали также и на пределы применимости уравнения}

(5.1в). Действительно, при вьгводе уравнения (5.12) нам при­шлось использовать приближение (5.9), согласно которому раз­ница между усилением и потерями невелика. Для непрерывного лазера это условие всегда выполняется, поскольку в установив­шемся процессе а(ЛГ₂— tfi)' = у (см. разд. 5.3.1). А вот для импульсного лазера условие (5.9) будет справедливо лишь то­гда, когда лазер работает при малом превышении над порогом. Если условие (5.9) не выполняется, то неприменимы и уравне­ния (5.1), и динамическое поведение лазера следует анализи­ровать с помощью выражения (5.6), путем последовательного рассмотрения процесса проход за проходом.

Если получены явные выражения для В и %_с и можно счи­тать, что рассмотренные выше приближения справедливы, то уравнения (5.1) описывают как установившиеся, так и динами­ческое поведение четырехуровневого лазера. Следует заметить, что уравнения принято записывать не через населенность верх­него уровня #2, а через инверсию населенностей

(5.17)

В силу нашего предположения о том, что релаксация с уровня 1 является быстрой, имеем Nzz N_2i и уравнения (5.1) нетрудно свести лишь к двум уравнениям в переменных N(t) и q(t):

♦

jV" = W_p(Nf^- N) ^- BqN q = (V_aBN — l/x_c) q.

_ЛГ/т,

(5.18a) (5.186)

Для количественного описания работы лазера необходимо ре­шить эти уравнения с учетом соответствующих начальных усло­вий. Если, например, накачка включается в момент времени t = о, то начальные условия запишутся в виде N10) =0 и q(0)=_{gh Г}де _qi- очень небольшое число первоначально при­сутствующих фотонов (например, qi - 1), симулирующее спон­танное испускание.

Если известно q(t), то совсем нетрудно определить выход­ную мощность через одно из двух зеркал резонатора. Действи­тельно, согласно выражениям (5.136) и (5.8), можно записать

(5.19)

Если это выражение подставить в уравнение (5.1 в), то мы убе­ждаемся в том, что величина (у2й)/2//)# представляет собой скорость ухода фотонов из резонатора через зеркало 2. Следо­вательно, выходная мощность через зеркало 2 равна

_{P2=(Y2Co/2X/)Av?.}

(5.20)

Прежде чем закончить этот раздел, необходимо еще раз под­черкнуть, что полученные здесь результаты применимы только в случае одномодовой генерации лазера. Если же генерация ла­зера происходит более чем на одной моде, то расчет, вообще го­воря, значительно усложняется. Рассматривая, например, гене­рацию лазера на двух модах, скоростные уравнения нужно было бы записать отдельно для чисел фотонов qt и q% в этих двух мо­дах. В действительности же более правильным является описа­ние через электрические поля соответствующих мод, поскольку такое описание позволяет учесть эффекты, обусловленные бие­ниями между двумя модами (см. разд. 5.4.5, посвященный син­хронизации мод). Однако если мы имеем дело с многомодовой генерацией, то описание можно сделать еще более простым за счет того, что мы рассматриваем полное число фотонов q, про­суммированное по всем модам. В этом случае записанные выше уравнения все еще применимы в приближенной форме, причем объемы Van V записываются теперь в виде

V_a = At, (5.21)

V = AL', (5.21 а)

где Л — площадь поперечного сечения той части активной среды, которую занимают поля генерируемых мод.

В качестве заключительного комментария подчеркнем, что в соответствии с выражениями (5.4) и (5.21) в любом случае мо­жно записать, что

Va = AJL, (5.22)

где А_е— эффективная площадь поперечного сечения лазерной среды, которая равна либо зш|/4, либо Л, в зависимости от того,

генерирует ли лазер на одной или на многих модах.