4.8.3. Достоинства и недостатки неустойчивых резонаторов

с резкой границей зеркала

Рассмотрим здесь главные достоинства и недостатки неус­тойчивых резонаторов с резкими границами зеркал по сравне­нию с устойчивыми резонаторами. К достоинствам неустойчи­вых резонаторов относятся I) большой управляемый объем моды; 2) хорошая селекция поперечных мод; 3) используемая оптика является целиком отражательной (что особенно привле­кательно в ИК-области, когда можно применять металлические зеркала). Основными недостатками являются следующие: 1) По­перечное сечение излучаемого пучка имеет форму кольца (т. е. в центре пучка находится темное пятно). Например, в конфокаль­ном резонаторе (рис. 4.41) внутренний диаметр кольца равен 2а₂, в то время как внешний диаметр — 2Ма₂. Хотя в фокальной плоскости линзы (в дальней волновой зоне) это темное пятно исчезает, максимальная интенсивность пучка в фокальной пло­скости линзы при этом уменьшается с уменьшением толщины кольца. Действительно, при данной полной мощности макси­мальная интенсивность кольцеобразного пучка в М²/ (М²—1]

раз меньше интенсивности пучка, имеющего однородное рас­пределение интенсивности и диаметр, равный большому диа­метру кольцеобразного пучка. 2) Распределение интенсивности в пучке неоднородно и имеет вид нескольких дифракционных ко­лец. 3) По сравнению с устойчивым неустойчивый резонатор бо­лее чувствителен к возмущениям, возникающим в резонаторе. В соответствии с перечисленными достоинствами и недостат­ками неустойчивые резонаторы находят применение в лазерах с высоким коэффициентом усиления (так что коэффициент уве­личения М может быть относительно большим), особенно в ИК-области спектра и в случае, когда требуется получить дифрак­ционно-ограниченные пучки высокой мощности (или высокой

энергии).

4.8.4. Неустойчивые резонаторы с переменным коэффициентом отражения

Некоторые, если не все, недостатки неустойчивых резонато- ров с резкими границами зеркал можно преодолеть, если зер- кала этих резонаторов изготовить с коэффициен- том отражения. В этом случае, в отличие от выходного зеркала с резкой границей, у которого коэффициент отражения равен единице при г<а^и нулю при г > а₂ (см. рис. 4.40,6), коэф- фициент отражения симметрично спадает от максимального зна- чения Ro до нуля на расстоянии от центра, сравнимом с радиу- сом активной среды. Для конкретности предположим, что у нонаправленного резонатора коэффициент отражения зеркала 2 по амплитуде дается выражением

(4.153)

где мы предположили, что w_a сравнимо с радиальным размером активной среды. Таким образом, соответствующий коэффициент отражения по интенсивности запишется в виде

#=#_ое-^2г2К (4.154)

где /?₀ = р% Для простоты будем следовать подходу, основан­ному на геометрической оптике. Тогда можно утверждать, что поле U'₂ (Mr) в точнее координатой Mr зеркала 2 после одного

полного прохода резонатора создается полем U₂(r), которое до прохода р?зонатор.ра имелось в точке с координатой г. Таким образом, мы можем написать следующее уравнение, которое можно сравнить с уравнениями (4.149а) и (4.1496):

U'₂(Mr) = р (г) U₂(г)/М. (4.155)

Если U₂ соответствует моде резонатора, то U'₂(r)=aUAr). При

(4.156)

^{решение}

(4.157)

_(4.158)

^{этом из предыдущего уравнения находим}

aU₂(Mr) =р (r)U₂(r)/M.

_что

Используя условие (4.153), нетрудно показать, низшего порядка уравнения (4.156) имеет вид

где

f/₂(r)^ £/₂₀ехр (- г²/ш²), ш² = (М²- 1) да*.

Соответствующее собственное значение а равно

<т = р₀/М,

_(4.159)

^{так что потери на вывод излучения запишутся в виде}

Y = 1 — |<т р = 1 — R(JM²> (4Л60)

В соответствии с решением (4.157) радиальное распределение

^{интенсивности внутри резонатора имеет вид}

ij

рнутр

_{(г) = tffoexp (_ 2r}²_/V).

(4.161)

^{При этом распределение интенсивности выходного}

^{пучка запишется в виде}

(r) = I_BHyrp(r)[l-R(r)] =

= С/20 [ехр (- 2г²До²) - #₀ ехр (— 2AfV/»²)],

_/

вых

(4.162)

где мы использовали (4.154), (4.158) и (4.161). Заметим, что радиальный размер распределения /_вых должен быть больше,

чем у /внутр. Действительно, согласно выражению (4.162), вы­ходная интенсивность равна произведению спадающей в ра­диальном направлении интенсивности /_внутр и коэффициента про­пускания 1 —R (г), который в этом направлении увеличивается.

Поэтому можно ожидать, что профиль интенсивности будет иметь плоскую вершину при г = О, а такая особенность предста­вляет интерес для многих приложений. Таким образом, мы мо­жем записать условие

В этом случае из выражения (4.162) находим, что коэффи­циент отражения в центре Ro и увеличение резонатора М дол­жны удовлетворять условию

R₀M²=L (4.163)

В таком резонаторе, согласно выражениям (4.160) и (4.163), но-тери за полный проход даются выражением

_Y=l-1/M⁴. (4 Л 64)

Предположим, например, что величина у = 0,5 соответствует оптимальной связи на выходе лазера (см. разд. 5.3.3). Из выраже­ния (4.164) получаем М²=^/2— 1,41, из условия (4.163) имеем

Ro = 1 /V^ = 0,71, а из выражения (4.158) находим ш² = = 0,41 w² На рис. 4.46 приведены профиль коэффициента от­ражения и соответствующие профили интенсивности внутри и вне резонатора. Заметим, что радиальная ширина профиля вы­ходной интенсивности на уровне 1/е от максимума сравнима с соответствующей шириной профиля коэффициента отражения,

которая равна wJ«/2. Следовательно, если выбрать величину 2w_a сравнимой с диаметром D активной среды, то диаметр вы­ходного пучка будет равен приблизительно D, а сам пучок бу­дет иметь замечательные дифракционные свойства.

В заключение укажем на то, что если размер пятна w_a до­статочно велик, то приведенные выше соотношения, полученные из геометрооптических соображений, совпадают с полученными из более строгого рассмотрения с помощью волновой оптики [19]. В частности, для конфокального резонатора положитель­ной ветви имеем

_{Г (М + О V& 1 ьх v}^/2

(4 165)

В рассмотренном примере первый множитель в правой части этого неравенства равен приблизительно 0,95. Поскольку вто­рой множитель равен размеру пятна на зеркале симметричного

конфокального резонатора длиной L, из (4,165) следует, что наше предыдущее обсуждение, основанное на геометрической оптике» остается справедливым, когда радиальные размеры зер­кала с переменным коэффициентом отражения, а следовательно, и размеры активной среды, намного превышают размер пятна

r/w_K

₁

Рис, 4.46. Радиальный профиль интенсивности внутри (Wp) и снаружи (W) неустойчивого резонатора с гауссовым распределением коэффициента отражения выходного зеркала R(г). (Случай, когда интенсивность выход­ного пучка имеет наиболее плоскую вершину профиля.)

конфокального резонатора той же длины. Это и есть то условие, при котором применение неустойчивых резонаторов оказывается весьма полезным!

Задачи

4.1. Докажите, что ЛБСО-матрица для луча, падающего из среды с показа­телем преломления щ на сферическую поверхность диэлектрической среды с

_О

показателем преломления записывается в виде

₁

_{П2 — П\ 1}

f ■

_ч

где К — радиус кривизны сферической поверхности (R > 0, если центр на­ходится слева от поверхности).

4.2. Рассмотрим тонкую линзу с показателем преломления й₂, образованную из двух близко расположенных сферических диэлектрических поверхностей с радиусами Я, и /?₂, Пользуясь решением задачи 4.1, покажите, что фокус-

'Л

I .с

ф

V.

Задачи

233

иое расстояние этой линзы дается выражением

1 i }Д

f ^iv

где tti — показатель преломления среды, окружающе линзу.

3. Интерферометр Фабри — Перо состоит из двух зеркал с одинаковым коэффициентом отражения по мощности R и одинаковыми относительными внутренними потерями по мощности «у. Покажите, что максимальное пропу­скание интерферометра дается выражением (1 -R - у)Ч(1 - Я)². Вычис­лите максимальное пропускание в случае R - 0,9 и у = 0,01 и сравните его с соответствующей величиной для ззеркал без потерь"

4. Интерферометр Фабри — Перо, состоящий из двух идентичных зеркал, разделенных воздушным промежутком длиной I, освещается монохромати­ческим непрерывным светом с перестраиваемой частотой. Из измерения зависимости интенсивности выходного пучка от частоты падающей волны было найдено, что область дисперсии интерферометра равна 3-Ю⁹ Гц, а его разрешение составляет 60 МГц. Вычислите расстояние между зеркалами L интерферометра, его резкость и коэффициент отражения зеркал. Вычислите также добротность Q резонатора Фабри — Перо на длине волны 0,6 мкм

(оранжевый цвет) и время жизни фотона в резонаторе.

4.5. Интерферометр Фабри — Перо, состоящий из двух идентичных зеркал,

разделенных воздушным промежутком длиной L, освещается от внешнего

источника световым импульсом длительностью 1 пс при длине волны К ж

« 0,6 мкм. Наблюдаемый выходе пучок света оказывается состоящим из регулярной импульсов длительностью I пс с интервалом

10 нс между ними. Энергия импульсов экспоненциально уменьшается со временем с постоянной времени 100 нс. Определите длину и добротность ре­зонатора, время жизни фотона в нем, а также коэффициент отражения зеркала.

6. В Не - Ne-лазере, работающем на длине волны К = 0,6328 мкм, исполь­зуется конфокальный резонатор длиной L = 1 м. Вычислите размер пятна в центре резонатора и на зеркалах.

7. Для резонатора из задачи 4.6 вычислите разность частот между двумя

соседними модами.

4.8. Для резонатора из задачи 4.6 найдите, сколько различных по частоте мод лежит в пределах ширины линии Ne (определяемой по уровню 0,5 от

максимального значения).

4.9. Вычислите размер пятна на обоих зеркалах полуконфокального резона- тора длиной L = 2 м, используемого в С0₂-лазере, работающем на длине волны X = 10,6 мкм.

10. Найдите разность частот между двумя соседними модами ТЕМоо резо­натора из задачи 4.9. Считая, что в С0₂-лазере ширина линии излучения, определяемая по уровню 0,5 от максимального значения, равна 50 МГц, найдите число мод ТЕМоо, частоты которых находятся в пределах этой линии.

11. В лазере, работающем на длине волны К = 0,6 мкм и имеющем усиле­ние по мощности за проход 2*10~², используется симметричный резонатор длиной 1=1 м. Радиус кривизны обоих зеркал резонатора R = 10 м. Вы­берите такой размер апертуры зеркал, чтобы подавить моду TEMoi и со­хранить при этом генерацию па моде ТЕМ,,..

4.12. Рассмотрим резонатор, образованный двумя вогнутыми сферическими зеркалами с радиусом кривизны 4 м и расстоянием между ними 1 м. Опре­делите размер пятна моды ТЕМоо в центре резонатора и на зеркалах, если резонатор используется для генерации излучения на длине волны К = = 514,5 им (одна из линий излучения Аг+-лазера).

если в предыдущей

4.13. Как изменятся размеры пятна на обоих зеркалах,

задаче одно из вогнутых зеркал заменить плоским?

4.14. В задаче 4.12 одно из зеркал резонатора заменено на вогнутое зеркало с радиусом кривизны 1,5 м. Вычислите: а) положение перетяжки пучка; б) размер пятна в перетяжке пучка и па обоих зеркалах.

4Л5. Резонатор образован выпуклым сферическим зеркалом с радиусом кри­визны Ri = — 1 ми вогнутым сферическим зеркалом радиусом R$ — 1,5 м. Каким должно быть максимальное расстояние между зеркалами, чтобы ре­зонатор оставался устойчивым?

16. Резонатор состоит из двух плоских зеркал и положительной линзы, помещенной между ними. Если фокусное расстояние линзы f, а ее расстоя­ние до обоих зеркал соответственно Li и £г, то каковы будут размеры пятен в месте расположения линзы и зеркал? Запишите также условия устойчиво­сти резонатора,

17. Кольцевой резонатор треугольной конфигурации состоит из трех пло­ских зеркал с положительной линзой, помешенной между двумя из них

Рис, 4.47. Кольцевой резонатор лазера, включающий в себя положительную

линзу с фокусным расстоянием f.

(рис. 4.47). Определите местоположение пятна с минимальным размером, значение этого размера и размер пятна в месте расположения линзы. Най­дите также условие устойчивости этого резонатора.

18. Какова радиальная зависимость плотности энергии в резонаторе (или интенсивности пучка, выходящего из резонатора) для моды ТЕМоо? чему равен размер пятна распределения интенсивности Ш/?

19. Покажите, что полная мощность гауссова пучка определяется выра­жением Р — J$ (nwfj, где /о — максимальная интенсивность пучка (на его оси).

Задачи

235

4.20. С помощью прямой подстановки покажите, что интегральное уравнение (4.86а) при N=oo имеет собственное решение U = ехр(—я£²). Найдите

соответствующее собственное значение а*.

21. Для произвольного резонатора можно ввести понятие чувствительности к несоосности б, которую определяют, как нормированное на размер пятна на зеркале поперечное смещение точки пересечения оптической оси с этим зеркалом при повороте одного из зеркал на единицу угла. В частности, для зеркала 1 можно определить два коэффициента чувствительности к несоос-ностн б и и 612 как бц = (1/wt) (drildOt) и = (l/wi) {dri/dOz), где Л-./dO, (i= 1.2) -поперечный сдвиг центра пучка на зеркале 1 при пово­роте одного из зеркал (I или 2) на единицу угла. Покажите, что в случае конфокального резонатора (би), = 0 и (612),= л^Д.

22. С помощью определения, введенного в предыдущей задаче, покажите, что для любого симметричного резонатора с очень большим радиусом кри­визны зеркал (/?»Х; чувствительность к несоосности такова, что 611 =

= 5₁₂ ss б₂₁ = б₂₂ = (6.₂) 4or/tt>₅, где (о₁₂)_с — чувствительность к несоос­ности конфокального резонатора, w — размер пятна на зеркале реального резонатора, a w_s — размер пятна на зеркале конфокального резонатора той же длины. С помощью вышеприведенного равенства установите, какой из двух резонаторов менее чувствителен к повороту зеркала?

23. Рассмотрим почти полусферический резонатор {R = L + А, где А < L), в котором зеркало 1 плоское. Покажите, что в этом случае 6j2 = = (&ii)c(w%lw_s) и 621 = (6i2)c(t0_s/o>2). Сравнивая этот резонатор с резона­тором из предыдущей задачи при том же значении размера пятна на зер­кале, т. е. при ш ~ какой вывод можно сделать относительно чувстви­тельности к несоосности почти полусферического резонатора по сравнению с почти плоским резонатором?

24. В СОг-лазере, работающем на длине волны Я = 10,6 мкм, приходится использовать конфокальный неустойчивый резонатор. Пусть этот резонатор имеет длину L = 1 м. Какую ветвь нужно выбрать для этого резонатора, чтобы объем моды был максимальным? Вычислите апертуры зеркал 2а? и 2а₂, чтобы можно было получить: 1) Af_3KB= 7,5, 2) выход излучения с одно-торцевого резонатора и 3) 20 %-иый выход излучения за полный проход резонатора Определите радиусы двух зеркал: Я, и J?*.

25. Используя приближение геометрической оптики (и предполагая, что генерируется мода низшего порядка), вычислите потери за один полный про­ход в резонаторе, рассчитанном в предыдущей задаче. Каковы форма и размеры выходного пучка?

26. Рассмотрим зеркало, обладающее «супер-гауссовым» радиальным про­филем коэффициента отражения R й₀ехр[—2(г/ш_а)^2л1 где я— целое чис­ло. Если такое зеркало играет роль выходного в неустойчивом резонаторе,

то, используя геометрическую оптику, покажите, что профиль интенсивности

мод внутри резонатора также является супер-гауссовым, т. е, может быть представлен в виде /внутр = h ехр[-2(г/шр]. Выведите соотношение между ш« (размером пятна профиля коэффициента отражения) и ш (размером пятна профиля интенсивности). Вычислите также потери Y за полный про­ход резонатора. Учитывая то, что профиль интенсивности выходного пучка имеет вид /_Вых = Лшутр[1—/?(г)], покажите, что при условии R₀ = 1/М^2п+г этот профиль будет наиболее пологим [ср. с выражением (4.163)]. Постройте зависимости R(r)_t /внутр (г) и / вых (г) для п = 3 и у = 0,5 при условии, что профиль имеет наиболее пологую форму. Сравнивая полученные кривые с представленными на рис. 4.46, какие выводы можно сделать о полезности этих «супер-гауссовых» профилей?