4.8.2. Описание с помощью волновой оптики

До сих пор в нашем рассмотрении мы пользовались сообра-

_{Чтобы получить более}

1натора» соответствующего положителъ-ЮЙ ветви, С М = 2,5 И N_9K* = 0,6.

Вертикальными линиями отмечены по­ложения краев выходных зеркал, со­гласно Реншу и Честеру [17].)

жениями геометрооптической близкую к действительности

картину мод неустойчивого резонатора, необходимо ис­пользовать волновое прибли­жение (например, можно

снова использовать дифрак­ционный интеграл Кирхго­фа) . Мы не будем здесь рас­сматривать подробно этот вопрос, а лишь приведем и

Обсудим некоторые важные результаты.

Что касается собствен­ных решений, то волновое

Ш6НИЯ соответствует ВОЛНО­вому фронту, форма которо­го близка к сферической,

причем радиус волнового фронта почти равен значению того ра­диуса (хотя всегда немного больше), которое получается из гео-метрооптического приближения; 2) радиальная зависимость ам­плитуды решения существенно отличается от той, которая полу­чается из геометрооптического рассмотрения [т. е. она не имеет зависимости, описываемой выражением (4.151)]. На рис. 4.42

8 О. Звелто

в качестве примера приведена одна из таких радиальных зави­симостей. На внешней стороне радиального распределения ин­тенсивности наблюдается более или менее монотонный спад при движении к периферии зеркала 1. Кроме того, на все распреде­ление интенсивности накладывается характерная кольцевая структура. Наличие монотонно спадающей части пучка связано с тем фактом, что дифракция света за пределы резонатора про­исходит в основном из периферийной области пучка. Кольце­вая структура обусловле-

^{на тем, что во внутреннее}

^{иоле резонатора дает}

_{вклад дифракция света на}

резкой границе зеркала 2

_■

_{1,50 h}

О

(рис. 4.42). Следует так­же заметить, что волно­вая теория тоже пред­сказывает существование различных мод, т. е, раз­личных самовоспроизво­дящихся пространствен­ных структур поля. Эти моды отличаются друг от друга положением и ин­тенсивностью колец, об­условленных дифракцией,

На рис. 4.43 показаны для примера три такие моды. Четкого различия между модами низшего и более высокого порядков установить теперь невозможно. Тем не менее следует заметить, что амплитуда поля моды, обозна­ченной на рисунке индексом I = 0, больше концентрируется вблизи оси у пучка, и поэтому следует ожидать, что данная мода будет иметь наименьшие потери. Если изменять пара­метры резонатора (Ми аг), то обнаружится новая характерная особенность: для каждого полуцелого значения определенного соответствующим образом эквивалентного числа Френеля (Миш) модой «низшего порядка» (т. е. модой с минимальными

^{потерями) становится отличная от других и четко выделяемая}

мода. Это обстоятельство иллюстрируется рис. 4.44, где пока­зана зависимость собственного значения 0 от iVэк в для трех мод с последовательными индексами (соответствующие потери вы-

числяются по формуле 1 — |<т ²), Для однонаправленного кон­фокального резонатора положительной ветви мы имеем Л^экв —

= [Ш—1)/2]#, где JV- определяемое обычным образом чис­ло Френеля для зеркала 2, т. е. N = c%/Lk. Заметим, что при

1 (т. е. в случае резонатора с малыми потерями) N_9KB << N. Для конфокального резонатора отрицательной N ветви вместо предыдущего выражения получаем Ы_шш = [ (М + 1) /Щ N.

₁

_О

На рис. 4.44 хорошо видно, что для каждого полуцелого зна­чения ЛГэкв потери моды «низшего порядка» и других мод сильно отличаются друг от друга. Отсюда следует, что в этих условиях можно получить эффективную селекцию поперечных мод. Од­нако необходимо заметить, что в точке пересечения кривых, описывающих потери двух мод (приблизительно при целых зна­чениях Ы_экв на рис. 4.44), распределения интенсивностей двух

J

Рис. 4.44. Типичный пример колебательного поведения модуля собственного значения О в зависимбсти от эквивалентного числа Френеля для трех по­следовательных мод.

пересекающихся мод становятся одинаковыми. Если обратиться, например, к рис. 4.43, то происходящее можно описать следую­щим образом. Когда ЛГэкв изменяется от 0,6 до приблизительно 1, распределение интенсивности моды / = 0 расширяется в сто­рону больших значений х, в то время как распределение моды / = 1 стягивается вовнутрь, так что при Мжв ~ 1 оба распреде­ления становятся одинаковыми. Следовательно, в этой точке значительная разница в потерях существует между модой 1=2 и модами I - О, I = 1 (с точки зрения дифракционных свойств эти моды можно рассматривать по существу как одну и ту же моду ¹⁾). В заключение можно сказать, что неустойчивые резо­наторы в любом случае обеспечивают хорошую селекцию по­перечных мод, особенно при полуцелых значениях N

На рис. 4.44 указано также геометрооптическое значение ве­личины для решения нулевого порядка [согласно выраже­ниям (4.152), эта величина равна \а\ =а_хо_у= 1/Мнезависимо

^!> Эти моды все же различаются с точки зрения фазового набега за полный проход, т. е. изменение поля вдоль оси z У них может быть разным.

от размеров зеркал и, следовательно от Л^кв]. При каждом полу­целом значении Л'^г_экп мода низшего порядка имеет существенно меньшие потери у — 1—"| о Г по сравнению с предсказывае­мыми геометрической оптикой. Это обусловлено тем, что, со­гласно предсказаниям волновой оптики, распределение интен­сивности стремится сконцентрироваться вблизи оси пучка (см. рис. 4.42). Такой эффект хорошо виден на рис. 4.45, на котором

10

Рис. 4.45. Потери на вывод излучения в неустойчивом резонаторе в завися-мости от увеличения М. Штриховая кривая получена в приближении геомет­рической оптики; сплошные кривые вычислены из волновой теории. (Соглас­но Сигмену [14].)

потери у представлены в зависимости от коэффициента увеличе­ния М. Сплошные кривые на рисунке (которые отвечают двум последовательным полуцелым значениям ЛГ_ЭКв) получены с по­мощью теории дифракции, а штриховая кривая соответствует геометрооптическому результату.