4.8. Неустойчивые резонаторы [14, 15]

В предыдущем разделе мы обсудили условие устойчивости для обобщенных сферических резонаторов [см. условие (4.141)] и показали, что неустойчивые области соответствуют незаштри-хованным участкам в плоскости g\, g₂ на рис. 4.39. Неустойчи­вые резонаторы можно подразделить на два класса; 1) резона­торы положительной ветви, которые соответствуют условию g\g2 > 1, и 2) резонаторы отрицательной ветви, которые соот­ветствуют условию _gig₂ < 0.

Прежде чем продолжить рассмотрение неустойчивых резо­наторов, необходимо указать здесь причины, почему эти резо­наторы представляют интерес для лазерной техники. В первую очередь подчеркнем, что для устойчивого резонатора, соответ­ствующего на плоскости g\, g2 точке, которая расположена не очень близко к границе неустойчивости, размер пятна в любом случае имеет тот же порядок величины, что и у конфокального резонатора (см. рис. 4.35). Отсюда следует, что при длине резо­натора порядка метра и для длин волн видимого диапазона раз­мер пятна будет порядка или меньше 1 мм. При таком неболь­шом сечении моды выходная мощность (или энергия) лазер­ного излучения, которую можно получить в одной поперечной моде, неизбежно оказывается ограниченной. Наоборот, в не­устойчивых резонаторах поле не стремится сосредоточиться вблизи оси (см., например, рис. 4.6), и в режиме одной попе­речной моды можно получить большой модовый объем. Однако при работе с неустойчивыми резонаторами возникает другая проблема, связанная с тем, что лучи стремятся покинуть резона­тор. Поэтому соответствующие моды имеют значительно боль­шие (геометрические) потери, чем моды устойчивого резонатора (в котором потери обусловлены только дифракцией). Тем не ме­нее данное обстоятельство можно даже обратить в преимуще­ства, если лучи, которые теряются на выходе из резонатора, включить в полезное выходное излучение лазера.

4.8.1. Геометрическое описание

Для того чтобы найти моды неустойчивого резонатора, нач­нем вычисление с использования геометрооптического прибли­жения, как это впервые было сделано Сигменом [16]. Сначала напомним два основных результата, которые были получены для собственных решений устойчивого резонатора [см. (4.95)]: 1) амплитуда записывается в виде произведения полинома Эр­мита на гауссову функцию и 2) распределение фазы соответ­ствует сферическому волновому фронту. Наличие гауссовой

_а

функции ограничивает размер пятна, что в большой мере объ­ясняется фокусирующими свойствами устойчивого сферического резонатора. Кроме того, сферический волновой фронт обусловлен граничными условиями, налагаемыми сферическими зеркалами. В случае неустойчивых резонаторов решение в виде произведе­ния эрмитовой и гауссовой функций получить невозможно, как было показано в предыдущем разделе для случая гауссо­вой моды низшего порядка. Поскольку пучок уже не фокуси­руется вблизи оси резонатора, в качестве первого приближения

Рис. 4,40. а — общий вид неустойчивого резонатора с выпуклыми зерка­лами; б - одноторцевой неустойчивый резонатор.

естественно предположить, что в этом случае имеет

постоянную по сечению пучка амплитуду, в то время как вол­новой фронт остается по-прежнему сферическим. Точнее говоря, моду следует рассматривать как суперпозицию двух распро­страняющихся навстречу друг другу сферических волн

ной интенсивности.

После этого предварительного обсуждения рассмотрим об­щий случай неустойчивого резонатора, показанный на рис. 4.40, а. Как и прежде, будем предполагать, что мода об­разована суперпозицией двух сферических волн постоянной ин­тенсивности, исходящих из точек Р\ и Р₂. Эти точки не совпа­дают с центрами кривизны зеркал 1 и 2, но их координаты нетрудно вычислить, используя соображение самосогласованно­сти: сферическая волна, исходящая из точки Р_и после отраже­ния от зеркала 2 должна давать сферическую волну, выходя­щую из точки Ръ и наоборот. Таким образом, координаты точек

_ ... ■

-Pi и Р2 можно получить из непосредственных вычислений, осно­ванных на геометрической оптике. Результаты, найденные для величин г\ и г₂, указанных на рис. 4.40, а, записываются следую­щим образом:

^ 1 ~~' <§°2 —±— f^>\^>₂ ^)J^^ + fn^£2 ^^2^ ' (^^ * 14^Lcl)

r₂ = g_l{±[g_lg₂(gig2- i)\^U2+ 8ig%-gt}'¹. (4.1446)

Можно показать, что из этих решений устойчивым » будет лишь то, которое в случае gig₂ > 0 имеет знак «+», и то, kotodoc при gig_a< 0 имеет знак «->. Таким образом, устойчивое реше­ние во всех случаях можно записать как

^Г_{Г' = gi [1- (glg2r}^l_Y^l2 _{+ gi - 1, (4.145а)}

r2ⁱ = g₂[l-(g_lg₂)~^l]^m + g2- 1. (4.1456)

До сих пор мы исследовали лишь конфигурации моды. Что­бы вычислить соответствующие потери, рассмотрим однонапра­вленный резонатор, показанный на рис. 4.40, б. Здесь принято, что диаметр зеркала 1, равный 2а,, больше, чем поперечный размер [ (L -f- r₂L) /r₂L] 2а₂ сферической волны, исходящей из точки Я* В этом случае из резонатора мимо зеркала 2 будет выходить лишь сферическая волна, испускаемая из точки Р_ь Эта сферическая волна, которая начинает свой путь от зеркала 2 диаметром 2а₂ (см. рис. 4.40,6), после одного полного прохода

резонатора вернется к этому зеркалу, увеличенная в М раз, где

М = [(L + r₂L) /г₂Ц [ (L + ГхЦ/пЦ. С помощью соотношений (4.145) выражение для М принимает вид

М = (2g_tg₂ - I) + 2g_{g₂ [l - (g_tg₂r ^l]^m> (4Л46)

откуда видно, что коэффициент увеличения за полный проход резонатора М зависит только от параметров g резонатора. За­метим, что в случае g\g₂ < О увеличение М имеет отрицатель­ный знак, и мы должны рассматривать его абсолютную вели­чину. Таким образом, поскольку мы приняли однородный харак­тер освещенности, часть мощности пучка, которая выходит мимо зеркала 2, после полного прохода резонатора равна

_{Y = ~^г^ - —г- • (}^4Л47₎

'> Автор здесь употребляет термин «устойчивый», который в данном случае имеет неоднозначный смысл Видимо, речь идет о том, что отбрасы­ваемое решение не имеет физического смысла (проанализируйте, например, простейший случай = 1, g]Г= 2).- Прим. перев.

^{где S}₂ ^{— т\ — сечение пучка, выходящего из области 2, а}

S'₂ = пМ²а\ — сечение пучка после полного прохода резонатора.

Заметим, что потери Y за полный проход при отборе мощности, как и увеличение М, не зависят от диаметра зеркала 2а₂.

До сих пор мы рассматривали лишь одну моду (которая на самом деле представляет собой моду с наименьшими поте­рями). Чтобы найти моды более высокого порядка, все еще ос­таваясь в рамках геометрооптического приближения, рассмо­трим опять однонаправленный резонатор на рис. 4.40, б. В этом

случае зеркала квадратного сечения распределение поля на зер­кале 2 можно записать в виде функции поперечных координат хяу [см. также выражение (4.80а)] как

U₂(x_f у) = и_2х(х)Щ_у(у). (4.148)

Поле в точке с координатой Мх после одного полного про­хода определяется полем и_2хв точке к до того, как излучение совершит полный проход резонатора. Таким образом, можно на­писать следующие уравнения для координат х и у соответст­венно:

V2A^Mx)=-jjm^U2Ax), (4.149а)

0,_у(Му) = -^и_2у(у). (4.1496)

Заметим, что стоящие в правых частях уравнений (4.149) ампли­тудные множители 1/М'/2учитывают тот факт, что после каж­дого полного прохода резонатора размеры пучка возрастают, и, следовательно, поле U₂(x,y) уменьшается в Мраз. Чтобы функ­ция U_2X представляла собой моду резонатора, потребуем выпол­нение равенств U'₂ (Мх) = o_xU_2lJMx) и U'_2y(My) = a_yU_iy (My). Из

уравнений (4.149) получаем

a_xU(Mx)=-_j;j_mU(x), (4.150а)

o_uU(My) = ^U(y). (4.1506)

Тогда общее собственное решение можно записать в виде Ulxy) = U(x)U(y)z соответствующее собственное значение как 0 = а_ха„. Можно непосредственно убедиться в том, что система уравнений (4.150) имеет решение нулевого порядка U_Q= const и а_х =Оу=\/МШ Объединяя эти решения для координат х и у, получаем U(x,y) = const и 0= 1/М. Это именно та мода, кото­рую мы только что рассмотрели и потери которой 7 = 1 — |а|²

даются выражением решения уравнений ваются в виде

(4.147). Однако нетрудно показать, что (4.150) более высокого порядка записы-

СМ*)-*¹,

_{От (У) = *Л}

(4.151а) (4.1516)

где I, т > 0. Соответствующие собственные значения равны

m+l/2

г-н/г

= 1/М

(4.152 а) (4.1526)

Заметим, что случай I = т = 0 (решение нулевого порядка) ответствует решению с минимальными потерями.

_со-

^{Рис. ,4,. Конфокальные f^^J^^^^^ ветвь;}

В качестве особо важного класса неустойчивых резонаторов рассмотрим конфокальный резонатор. Эти резонаторы предста­вляются в плоскости g_u g₂ в виде двух ветвей гиперболы, пока­занных на рис. 4.39 штриховыми линиями [уравнение гиперболы записывается в виде (2gi — 1) (2g₂— 1) = 1]. Из большого раз­нообразия таких резонаторов только (симметричный) конфо­

калышй \gi =Й2=^: о) и плоскопараллельный =j?₂=1) резонаторы соответствуют границе между областями устойчиво­сти и неустойчивости. Все прочие конфокальные резонаторы не­устойчивы и могут принадлежать либо отрицательной ветви (рис. 4.43, с), либо положительной ветви (рис. 4.41,6) области неустойчивости. Как показано на рис. 4.41 и в чем можно убе­диться с помощью формул (4.145), мода состоит из суперпози­ции плоской волны и сферической волны, исходящей из общего фокуса Fi = F₂. Коэффициент усиления за полный проход резо­натора М равен М= Ri\/\R2\, где R\ и R₂— радиусы зеркал, причем

> |#₂|. ^Если Диаметр 2а_у зеркала 1 сделать доста­точно большим (2а\ > 2Ма₂) , то из резонатора будет выходить только плоский пучок. В этом случае потери за полный проход, или относительная выходная мощность, определяются выраже­нием (4.147).