Волны (б).

Закон (4.112), справедливый для произвольной оптической системы, находит очень широкое применение для решения мно­гочисленных задач, например для описания распространения га­уссова пучка через оптическую систему из сложной последова­тельности линз, разделенных произвольными промежутками. В качестве элементарного примера проиллюстрируем примене­ние закона ABCD для получения фокусировки гауссова пучка линзой.

Рассмотрим гауссов пучок с размером пятна Woi и плоским волновым фронтом, входящий в линзу с фокусным расстоянием f (т. е. перетяжка пучка совпадает с местоположением линзы). Требуется определить положение перетяжки пучка после линзы и размер пятна Ш02 в этой перетяжке. В соответствии с форму­лами (4.7) и (4.9) матрица системы, состоящей из линзы с фо­кусным расстоянием f, вслед за которой расположен свободный от оптических элементов промежуток длиной г, имеет вид

^l~^{zff Z} (4.116)

- 1// 1 *

Чтобы решить нашу задачу с помощью этой Л BCD-матрицы, выражение (4.112) нужно преобразовать к виду

где l/qi в соответствии с (4.110) дается выражением

^{— = — I—Ц-= —; (4.118)}

здесь zr\ — рэлеевская длина, соответствующая размеру пятна в перетяжке шоь Согласно (4.108), положение перетяжки пучка после линзы найти, если потребовать, чтобы величина

1/а₂, как и \/q_u была чисто мнимой. Из (4.117) и (4.118), ис- пользуя конкретные значения элементов, нетрудно

^{показать, что}

2д1 — j ^ [f/Zj^y * (4.119)

Таким образом, мы с удивлением обнаруживаем, что минималь­ный размер пятна достигается на расстоянии 2м» которое всегда меньше фокусного расстояния f. Впрочем, следует отметить, что в обычных условиях z*,>f, так что ZM ~ / Следовательно, если положить ZM « f» то размер пятна в фокальной плоскости wo₂ получается из мнимой части формулы (4.117) в виде

о>02 ~ kf/nw_0i (4.120)

4.7. Обобщенный сферический резонатор [8]

Рассмотрим теперь общий случай резонатора из двух сфери­ческих зеркал, имеющих радиусы Я, и R₂ и разделенных друг от друга промежутком длиной L. Знак радиуса кривизны бе­рется положительным для вогнутого и отрицательным для вы­пуклого зеркала. Наша задача состоит в том, чтобы вычислить амплитуды мод, дифракционные потери и резонансные частоты. Поскольку /?, и R₂ могут принимать любые значения (либо по­ложительные, либо отрицательные), можно будет составить та­кую комбинацию зеркал, которая приведет к неустойчивой кон­фигурации резонатора (см., например, рис. 4.6). В связи с этим представляет интерес определение условия устойчивости обоб­щенного сферического резонатора. Для последующего рассмо­трения удобно ввести следующие две безразмерные величины

g_x=:l — L/R-_l9 (4.121а)

_.

4.7.1. Амплитуды мод

Для того чтобы вычислить распределение поля, представим себе, что на рис. 4.31 синфазные поверхности Г^Л и 2^/ замещены двумя зеркалами» причем радиусы кривизны зеркал и эквифаз-ных поверхностей совпадают. Предположим также, что исход­ные зеркала 1 и 2 удалены. Теперь резонатор будет образован зеркалами V и 2\ и распределение поля внутри резонатора, оче­видно, не изменится. Соответственно размер пятна и эквифаз-ные поверхности как внутри, так и вне резонатора останутся теми же самыми, что и на рис. 4.31. Однако из формулы (4.98) можно заметить, что эквифазные поверхности V и 2^/ уже не яв­ляются конфокальными и резонатор, образованный зеркалами Г и 2', теперь представляет собой некий обобщенный (т. е. не конфокальный) резонатор со сферическими зеркалами. В даль­нейшем мы сформулируем ограничения на кривизны зеркал и расстояния между ними в обобщенном резонаторе. Таким обра­зом, если заданы радиусы кривизны R\ и i?2 зеркал V и 2', а также расстояние между ними L, то модовую картину можно получить при условии, что эквифазные поверхности совпадают с поверхностями зеркал в месте их расположения. Пусть г\ и г% — расстояния от обоих зеркал до перетяжки, тогда с помощью формул (4.106) и (4.107) получим »>

Очевидно также, что

— R_x—z_x-\-z\jz_v

_{Z/ = ;2?2 — Z\.}

(4.122а) (4 Л 226)

(4.122в)

Уравнения (4.122) — это система трех уравнений для трех неизвестных: Z\, z% и ZR. Если эти уравнения решить, то с по-

>) Заметим, что знак минус перед /?, в (4.122а) обусловлен тем, что хотя знак кривизны вогнутого зеркала выбран положительным, согласно правилу, примененному нами в (4.106), R является положительным, если центр кривизны оасположен слева от волнового фронта.

мощью выражения (4.95) с учетом соотношений (4.96) — (4.99)» в которых L заменено на 2г#, можно найти напряженность поля в любой точке внутри и вне резонатора. В частности, размер пятна на двух зеркалах в соответствии с (4.96) определяется выражением

_{»i,a = a>o[l + (zil2/z*)}²_r^/2_{. (4.123)}

_{2* = -H<2*-L)LP-}

₁

Важным примером является случай, когда R% = R\ = R (симметричный резонатор). В этом случае перетяжка распола­гается посередине резонатора (т. е. z% = —z\ = L/2) и из урав­нений (4Л22) нетрудно найти,

1

_что

1

(4.I24)

L

1/2.

_{2 К}¹ ₊ ⁸_{^ *И}

здесь в соответствии с (4.121) мы положили g = 1 - L/R. Размер пятна на зеркале вычисляем с

помощью выражения (4.123), в

котором используем (4.124). Та­ким образом, имеем

1/4

(4.1 25)

w_x = w₂ = w_s = ~ \ л ) Kl-g* )

0,5

Рис. 4.35. Симметричный резона­тор. Зависимость размера пятна

w_$ на зеркале (нормированного на

соответствующий размер пятна ю, в конфокальном резонаторе такой же длины) от параметра резонатора g[g = 1 — (L/R)], где L —длина резонатора, a R — кри-вшна зеркала.

Таким образом, отношение этого размера пятна к размеру пятна на зеркале конфокального резонатора w_s [см. (4.91)] равно (1— g²)~^l/4. На рис. 4.35 построена зависимость отношения

^w'$!^ws ^от величины g. Мы видим, что размер пятна 1) оказы­вается минимальным при g = 0 (конфокальный резонатор),

2. становится бесконечно большим как при g = 1 (плоский ре­зонатор), так и при g=— 1 (концентрический резонатор) и

3. за исключением случаев, когда g имеет значения, близкие к 1 или —1, не очень сильно отличается от своего значения для конфокального резонатора.

В более общем случае сферического резонатора с зерка­лами различной кривизны вычисление с помощью уравнений (4.122) и выражения (4.123) оказывается более сложным из-за громоздких алгебраических выкладок. Однако выражения для размеров пятен на двух зеркалах wi и w₂ оказываются довольно

^{простыми:}

_{fLkVt2JT ft W}⁴ _{Г4 196я1}

^{*1_"Ч я / Igi (I — gig}₂^{) J ^.IZOd^}

^²⁼4~J [_₂(1-—П * (4,1266)

В случае симметричного резонатора (g\ = g₂ = g) выражения (4.126), очевидно, сводятся к формуле (4.125).