4.6. Распространение гауссова пучка

и закон ABCD [8]

Рассмотрим сначала свободное распространение однородной сферической волны из точечного источника Р, расположенного в точке z = 0 (рис. 4.33). Поле U(Pi), создаваемое этой волной в точке Р, с цилиндрическими координатами г и zo, в случае r<i! записывается в виде

_U(P{)

ехр (— ikH)

■^^-expI-ЙгЗД)],

_(4.103)

где R — радиус кривизны сфери­ческой волны в точке Р_х. От­сюда мы видим, что поперечное изменение фазы пучка, а именно

U_t = ехр [ - I (fer²/2#)] — схр {- /' [k'(x² + y^ftR]}, (4.104)

должно описываться сферической волной радиусом R.

Рассмотрим свободное распространение гауссова пучка (ТЕМоо). Как указывалось в предыдущем разделе, его распро­странение описывается выражениями (4.95) - (4.99) (при H_m = JH_t = const). Следует, в частности, заметить, что с помощью (4.97) выражения (4.96) и (4.98) можно преобразовать следую­щим образом:

w (г) = ш₀ [ 1 + (-^j?)²]"* • (⁴-¹ Об)

/?(z) = z[l + (ig2.)²]. (4.106)

Для данной длины волны Я как w, так и R (а следовательно, и распределение поля) в данной точке z зависят исключительно от Щ. Это нетрудно понять, если заметить, что в плоскости z = О известно как распределение амплитуды поля (поскольку известна величина Wo и мы договорились, что распределение поля яв­ляется гауссовым), так и фазы (поскольку R = оо в перетяжке). Тогда поле в любой другой точке пространства можно вычис­лить, начиная с известного распределения поля в перетяжке пучка с помощью, например, интеграла Френеля — Кирхгофа (4.73). Отсюда можно прийти к заключению, что если известно положение перетяжки пучка и ее размер, то распространение гауссова пучка всегда можно описать выражениями (4.105) и (4.106), независимо от того, является ли перетяжка минималь­ным размером пятна пучка внутри резонатора или же мини­мальным размером пятна в любой другой точке вдоль пучка (например, благодаря фокусировке пучка положительной лин­зой). Расстояние от перетяжки пучка, на котором размер пятна

увеличивается в <у/2 раз, называется рэлеевской длиной г*. Из выражения (4.105) получаем

z_R = nw^j%. (4 Л 07)

Сравнивая это выражение с (4Л01), находим, что г_с — 2г#, т. е, рэлеевская длина равна половине конфокального параметра.

Распространение гауссова пучка можно описать в более про­стой и удобной форме, если определить комплексный параметр q следующим образом:

^{1/д = — iXfnw\ (4 Л 08)}

Нетрудно показать, что использование параметра q позволяет записать выражения (4.105) и (4.106) в значительно более про­стом виде:

q (z) — q₀+ z₉ (4.109)

где

l/?₀ (4 Л10)

Параметр q называется комплексным радиусом кривизны гаус­сова пучка или, что более привычно, комплексным параметром пучка. Действительно, в соответствии с выражением (4.95) по­перечное изменение фазы пучка можно записать как

^U_t^~*x_?^{\-[i K}_2R^{y +—^|)=ехр|-[г 1Ь}

(4Л11)

^{J-6. Распространение гауссова пучка и закон A BCD 209}

что совпадает с аналогичной записью в случае сферической волны [см. (4.104)], причем радиус кривизнь? сферической вол­ны R заменяется параметром q

Параметр q обеспечивает весьма удобный способ описания распространения гауссова пучка, как видно, например, из очень простого вида закона распространения пучка, записанного че­рез параметр а [см. (4.109)1. Это удобство связано также и со следующим общим результатом: если гауссов пучок на входе некоторой оптической системы, описываемой данной ABCD-ш-трицей характеризуется комплексным параметром а,, то на вы­ходе этой системы ' параметр пучка запишется весьма просто:

Этот закон, который очень похож на соответствующий закон для распространения сферической волны [см. выражение (4.18)], обычно называют ABCD-законом распространения га­уссова пучка. Доказательство справедливости выражения (4.112) для произвольной оптической системы весьма сложно [II]. Поэтому ограничимся здесь лишь рассмотрением его спра­ведливости для нескольких простых случаев.

Рассмотрим вначале свободное распространение гауссова пучка от плоскости z =2, до z = z₂. В соответствии с (4.109) можно написать следующее равенство:

^{Я2=Й\ + (*2 — Zi), (4.113)}

где мы положили q₂ = q{z₂) и q_x =q{z_x). Выражение (4.113) в точности совпадает с тем, которое было бы получено с помощью закона (4.112), если бы мы использовали матрицу (4.7) для сво-бедного распространения [при п = 1 и L = г₂ — г\\ ср. с (4.19)].

Изучим теперь прохождение гауссова пучка черрез линзу с фокусным расстоянием f (рис. 4.34, а). Если линза тонкая, то ам­плитудные распределения пучка непосредственно перед и после линзы совпадают, т. е. размеры пятна могут меняться лишь не­прерывным образом. Таким (образом, размеры пятна до и после

линзы не е.

ю₂ = ш,. (4Л14)

Чтобы определить соответствующее изменение кривизны волно­вого фронта, рассмотрим вначале прохождение через ту же са­мую линзу сферической волны (рис 4.34, б). В данном случае сферическая волна, исходящая из точечного источника Р_и фоку­сируется линзой в точечное изображение Р₂. В этом случае ра­диусы кривизны R\ и R₂ непосредственно до и после линзы бу­дут связаны соотношением (4.20). Иными словами, сферическая линза преобразует радиус кривизны падающей волны R_x в ра­диус кривизны выходящей волны R2 в соответствии с соотно­шением (4.20). Точно таким же образом радиус кривизны выхо­дящего гауссова пучка R% на рис. 4.34, а будет определяться соотношением (4.20). Согласно этому соотношению и (4.114), л ре- I образование комплексного параметра q можно записать в виде

(4Л15)

_а

Это соотношение снова очень похоже на (4.20). Нетрудно те- перь показать, что соотношение (4.115) в точности совпадает с тем, которое было бы получено при использовании матричных элементов тонкой линзы [см. (4.9) ] . t

Рис. 4.34. Прохождение через линзу гауссова пучка (а) и сферической