4.4.2. Теория Фокса и Ли

ч Употребление в литературе по лазерам терминов продольная и попе­речная мода иногда приводит к путанице и может создавать (ошибочное) представление о том, что существуют два различных типа мод, а именно

продольные (иногда называемые аксиальными) и поперечные моды. В дей­ствительности же любая мода характеризуется тремя числами, например я, /п, в соответствии с выражением (4Ж Электрические и магнитные поля мод почти перпендикулярны оси резонатора. Изменение этих полей в попе-

ной п. Когда говорят, причем, как правило, не корректно о попе-

речной моде, то подразумевают определенные значения поперечных индексов / и т, не обращая внимания па величину п. Следовательно, отдельная по- перечная мода -это мода с одним единственным значением поперечных ин- дексов /, т. Аналогичным образом можно объяснить термин «продольная» мода. Так, две соседние продольные моды — это моды с последо-

вательными значениями продольного индекса п (т.е. п и и + \ или п — \).

Более строгая теория плоскопараллельного резонатора при­ведена Фоксом и Ли [6], которые решали эту задачу в так на­зываемом скалярном приближений, нередко используемом в оптике. В этом приближении электромагнитное поле предпо­лагается почти поперечным и однородно поляризованным (на­пример, линейно или по кругу). Поле волны можно записать в виде скалярной величины U, представляющей, скажем, амплитуду электрического (или магнитного) поля. Предположим, что U\ является некоторым произвольным распределением поля на зеркале 1 (рис. 4.20) Тогда благодаря дифракции это распре­деление вызовет соответствующее распределение поля на зерка­ле 2, выражение для которого можно получить с помощью 'ди­фракционного интеграла Кирхгофа [71. При этом в произволь­ной точке Р₂ зеркала 2 поле U₂ (i>J) дается выражением

U₂ (Ро)

L. С £Л (P₁)exp(tfer)(l + cos8) ^

где г — расстояние между точками P_t и Р₂, 9 — угол, который отрезок Р{Р₂ составляет с нормалью к поверхности зеркала в

Рис. 4.20. К расчету мод плоскопараллельного резонатора с помощью ди­фракционного интеграла Кирхгофа.

точке Ри dS\ — элемент поверхности в точке Р\ и k\ = 2л/а. В вы­ражении (4.73) интеграл вычисляется по всей поверхности зерка­ла 1. Следует заметить, что выражение (4.73) нетрудно понять как математическую формулировку интуитивных представлений, составляющих принцип Гюйгенса: каждый элемент dS, поверх­ности 1 можно рассматривать как источник сферической волны £/.(/>,№X(expV)]/г (так называемая «элементарная волна Гюйгенса»), причем поле на поверхности 2 обусловлено супер­позицией этих сферических элементарных волн. Множитель (1+cos6)/2 в (4.73) -это «коэффициент наклона», который имеет указанную форму в теории Кирхгофа, в то время как в теории Френеля он принимает более простои вид cos 9. Множи­тель -i/A, перед интегралом Френеля - Кирхгофа - это норми­рующий коэффициент, получаемый из строгого теоретического рассмотрения В частности, "множитель —i имеет интересную фи­зическую интерпретацию, согласно которой испускаемая элемен­тарная волна сдвинута по фазе на я/2 по сравнению с полем £/,(Р,)на поверхности 1.

₁

Вместо того чтобы изучать общее распределение U\_f рас­смотрим распределение U, соответствующее моде резонатора. В этом случае распределение поля на зеркале 2, вычисленное по формуле (4.73), с точностью до некоторого постоянного множи­теля должно быть снова равно U. Таким образом, в соответ­ствии с (4.73) получаем следующее выражение:

^J1 1

где a — постоянная величина. Выражение (4.74) представляет собой однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные решения этого уравнения U определяют распределения поля на зеркалах резонатора, соответствующие его модам ¹К Поскольку в (4.74) интегральный оператор неэрми­тов, собственные значения 0 не являются вещественными и, сле­довательно, как амплитуда, так и фаза имеют непосредствен­ный физический смысл. Если положить 0= |<х|ехр(#), то мож­но сразу показать, что величина уа=1 —'|⁰[² определяет

относительные потери мощности за проход, обусловленные ди­фракцией. Величина ф представляет собой запаздывание волны по фазе при распространении ее от одного зеркала до другого; это становится еще более очевидным, если вспомнить о том, что множитель ехр(Ы) был опущен в обеих частях интегральных уравнений (4.73) и (4.74). Таким образом, величина 2ф пред­ставляет собой запаздывание по фазе при полном проходе ре­зонатора и зависит от волнового числа k_f т. е. от длины волны. Приравняв 2ф целым числам, умноженным на 2л, мы получим резонансные частоты (как в простом случае, рассмотренном в разд. 4.1). Таким образом, мы видим, что собственные решения

^{и соответствующие собственные значения уравнения (4.74)}

определяют все величины, представляющие интерес, а именно распределение поля на зеркалах, резонансные частоты и ди­фракционные потери. Если известно распределение поля U на зеркалах, то с помощью уравнения (4.73) можно вычислить

*> Ссылка на конечное распределение поля на поверхности зеркала ре­зонатора может, на первый взгляд, показаться противоречащей обсуждению, проведенному в разд. 4.1, где поле предполагалось равным нулю на зерка­лах (для металлических зеркал). В действительности же поперечная зависи­мость распределения поля U(P)= U(x,y), введенная в этом разделе, не дает полного описания поля моды резонатора, поскольку она не учитывает продольного (т, е. вдоль оси г) изменения поля. Если учесть это обстоя­тельство, то в соответствии с (4.68) можно записать, например, Е_х в виде Е_х(х,у, 2) = G,l/(*,ff)sinfesinW. Теперь видно, что Е_х действительно равно нулю при z = 0, т. е. на поверхности зеркала 1 (рис. 4.20). Кроме того, £/= 0 при z = L, т. е. на поверхности зеркала 2 (рис. 4.20), если

поле в любой точке внутри (стоячая волна) и вне (бегущая волна) резонатора.

При 1»а, т. е. в том случае, когда длина резонатора су­щественно больше его поперечных размеров, уравнение (4*74) можно значительно упростить. Действительно в амплитудном множителе под знаком интеграла можно положить cos 8 « 1 и г « L. Чтобы получить соответствующее выражение для фазо­вого множителя йг, запишем г в виде

г = [I» +fa - xtf+ {у_х— #з)²р =

^{= L + (1/21) [fa - fo - у^\ + е, (4.75)}

где мы разложили в ряд выражение, стоящее под знаком квад­ратного корня. При выполнении условия ke <С 2л остаточным членом ряда е можно пренебречь! Поскольку & представляет собой сходящийся знакопеременный ряд, его величина не пре­вышает первого члена. Отсюда следует, что для выполнения ус­ловия Ае4С2я достаточно, чтобы выполнялось неравенство fea⁴/I³< 2я или #< L²/a², где N=a²/L%- число Френеля ^!>. Таким образом, при выполнении двух условий I > а и #<C(L/a)² можно записать следующее приближенное выра­жение:

exp (ikz) ** exp {(йL) + i (nNIa^%)[(x_x - х₂)² + (уi - Ы²]}* (4.76)

Используя это выражение и безразмерные параметры

| = (Улг/a) х, ц = (УЖ/а) у, (4 J7a, б)

интегральное уравнение (4.74) можно переписать в безразмер­ном виде:

о*U (£₂, Ля) =

— — / ^ t^(ii» Л[) exp {/я[(&1 -^)² + (% -%)²]} ^ii^u (4.78) i

_где

a* = л exp(— flfcZJ. (4.79)

^п Число Френеля JV —это безразмерная величина, которая часто приме­няется в геометрической оптике. Одна из физических интерпретаций этого числа может быть следующей. Угол дифракционной расходимости _mплоской электромагнитной волны с поперечным размером 2а равен В а л? %/2а [см. выражение (1.11)]. С другой стороны» для зеркал, имеющих поперечные размеры 2а и расположенных на расстоянии L друг от друга, половина геометрического угла 8_g, под которым одно зеркало видно из центра дру­гого, составляет <L = a/L Отсюда следует, что N = О_с/20,. Таким образом» большие числа Френеля означают, что угол дифракционной расходимости мал по сравнению с геометрическим углом.

Для зеркал квадратной или прямоугольной формы в уравнении (4.78) можно разделить переменные. Таким образом, запишем

U (|, ri) = tf_t (I) U_n (ti), (4.80a)

0* — _t 806)

При этом из (4.78) получим следующие два уравнения для

^{Ut(l) и им-.}

^(y^^Pb'W*)! J t/_ft (6,) ехр [/я (g₄ — gj)²] (4.81a)

-i/лГ

ог*^ (т)₂) _— exp[— / (я/4)] ^ £/_n (n,) exp [te (г\_г — т)₂)²] Л|_г (4.816)

Можно показать, что функция U% представляет собой распреде­ление поля в резонаторе, образованном двумя плоскопарал­лельными зеркалами длиной 2а в направлении оси х и беско­нечно протяженными в направлении оси у (ленточные зеркала). Аналогичная интерпретация справедлива и в отношении функ­ции Мы будем различать собственные функции и собствен­ные значения уравнений (4.81) с помощью соответствующих индексов и /. Таким образом, согласно определениям (4.80), имеем

U_mi (I, Ч) = U_lm(l) {/^(л), (4.82а)

<a-<W*- <⁴-^82б>

Для круглых зеркал рассмотрение проводится почти ана­логично. Однако в этом случае более удобно записать уравне­ние (4.74) в цилиндрических, а не в прямоугольных координа­тах, и в новой системе координат переменные опять можно раз­делить.

Хотя уравнения (4.81) выглядят гораздо проще, чем исход­ное уравнение (4.74), они не имеют аналитического решения. Фокс и Ли решили эти уравнения с помощью компьютера для нескольких значений числа Френеля N. Эти авторы использова­ли метод итераций, основываясь на следующем физическом со­ображении. Рассмотрим волну, распространяющуюся в прямом и обратном направлениях в резонаторе, и предположим, что в некоторый момент времени распределение поля £/i(|i) на зер­кале 1 известно. Распределение поля U₂ (Ь) на зеркале 2 мож­но при этом вычислить с помощью (4.81а) по известному рас­пределению поля Ut. Действительно, если в правой части

7 О а вел та

уравнения (4.81а) функцию £/|(£i) заменить на U\ и затем вы­полнить интегрирование, то мы получим функцию U₂ = 6^(|₂), соответствующую первому проходу резонатора. Поскольку распределение U% известно, можно затем вычислить новое рас­пределение поля на зеркале 1, соответствующее второму про­ходу, и т. Д. Фокс и Ли показали, что после достаточно болыпо-го числа проходов, независимо от первоначального распреде­ления поля на зеркале 1, достигается такое распределение поля,

которое при последующих проходах остается без изменения.

Следовательно, полученное распре­деление будет собственным реше­нием уравнения (4.81а). Этот спо­соб позволяет рассчитать также соб­ственные значения и, следователь­но, как было показано выше, ди­фракционные потери и резонансную частоту данной моды. Если первона­чальное распределение поля пред­ставляет собой четную функцию ве­личины |, то в конечном итоге мы получим четную моду, в то время как для нечетных мод первоначаль­ное распределение поля должно

быть нечетной функцией величины

|. В качестве примера на рис. 4.21 Приведены результаты, полученные для амплитуды поля U = U(x/a,N) в случае, когда начальное распре­деление поля U, выбрано однородным и симметричным (т. е. U\ = const). При # — 6,25, чтобы достичь стационарного реше­ния, необходимо приблизительно 200 проходов, как показано на

рис. 4.22. Аналогично антисимметричная мода низшего порядка получается в том случае, когда первоначальное распределение выбирается однородным и антисимметричным (т. е. U\ = 1 при О < х < а и Ui = — 1 при —а < х < 0). На рис. 4.23 представ­лены распределения поля U (х/а, N), полученные таким мето­дом для двух значений числа Френеля.

В соответствии с представлением (4.82а) полное распределе­ние поля Uml(x, у) можно записать в виде произведения U_m (х) Ui {у). Мода, которая соответствует случаю, когда как U (х), так и U(у) определяются решением низшего порядка (l е. т = I = 0) (рис. 4.21), называется модой ТЕМ₀₀. Мода TEMoi получается, когда U(x) представляет собой решение низ­шего порядка (т = 0, рис. 4.21) и U(y)— решение следующего более высокого порядка (т. е. 1=1, рис. 4.23); для моды

ТЕМ₁₀ получаем обратное соответствие. Буквы ТЕМ означают поперечное электрическое и магнитное поле (аббревиатура англ. слов: transverse electric and magnetic). Для этих мод как элект-

рическое, так и магнитное поле электромагнитной волны орто­гональны оси z резонатора.

Из уравнений (4.81) и (4.826) нетрудно показать, что о* за­висит только от числа Френеля N и от модовых индексов m и

Соответственно дифракционные потери Ы=1— |о*|²) бу­дут зависеть лишь от N, m и /. На рис, 4.24 показаны зависи­мости дифракционных потерь от числа N для симметричной (ТЕМоо) и антисимметричной (ТЕМ₀₁) мод низшего порядка. Можно видеть, что с возрастанием N потери быстро убывают. Такое поведение нетрудно объяснить, если вспомнить, что N пропорционально отношению геометрического (Q_g) и дифрак­ционного (Qd) углов. Кроме того, такой результат можно по­нять, если заметить, что с возрастанием N поле на краях зерка­ла (х = ±а) уменьшается так, как показано на рис. 4.21 и 4.23. Действительно, именно это поле отвечает в основном за дифракционные потери. Наконец, следует заметить, что для данного числа Френеля потери для моды TEMoi всегда боль­ше, чем для моды ТЕМоо.

Резонансные частоты можно получить, если приравнять фазу величины а целому числу, умноженному на п. Таким образом, используя выражение (4.79), получаем

_{+ Фт, i =} ^ппл

(4.83)

Здесь явно указывается на то, что фаза р собственного значе­ния о* зависит от модовых индексов m и /. Заметим, что если волновое число k зависит только от длины волны Я (k = 2лД), то фаза ф* зависит как от длины волны К (в силу того, что она зависит от числа Френеля Л?), так и от модовых индексов т и L Поэтому уравнение (4.83) позволяет вычислить резонансные длины волн Я (а следовательно, резонансные частоты v) в виде функций от модовых индексов я, / и т. Результаты чис­ленного расчета о*, выполненного Фоксом и Ли, подтверждают, что для достаточно больших чисел Френеля значения резонанс­ных частот, полученные этим методом, хорошо согласуются с теми, которые предсказывает соотношение (4.70). Например, для N >• 10 расхождение не превышает 10 %.