4.4. Плоскопараллельный резонатор

4.4.1. Приближенная теория

Первое упоминание об изучении плоскопараллельного резо­натора появилось в классической работе Шавлова и Таунса [5], в которой они предложили распространить принцип дейст­вия мазера на диапазон оптических частот. Шавлов и Таунс рассмотрели эту задачу, используя аналогию с закрытым прямо­угольным резонатором, моды которого хорошо известны (см. разд. 2.2).

Прежде чем излагать теорию Шавлова и Таунса, напомним, что в случае прямоугольного резонатора, показанного на рис. 2.1, составляющие напряженности электрического поля Е

^{можно записать в виде}

Е_х = e_xcos k_xxsink₉ysmk#sin at, ЕУ= e_ysin k_xxcosk_gysink₂z sinat, (4.68)

E_z = е_г sin k_xx sin k_yycos k_zz sin ©/,

гд^д = ln/2a, k_y = mn/2a, k_z = nit/L (/, m, n — положительные целые числа), а резонансные частоты даются выражением

v = (с/2) [(n/L)'4- (w/2a)²+ (//2a)²]'/². (4.69)

Заметим, что выражения (4.68) можно записать в комплексной форме, если представить синусы и косинусы через экспоненци­альные функции. При этом можно показать, что каждая состав­ляющая поля Е записывается как сумма .восьми членов вида ехр \i(±k_xx ± knu ± k_zz— о>0 + компл. сопр.1, т. е. как сумма

^{восьми плоских распространяющихся вдоль направлений,}

определяемых восемью волновыми векторами с компонентами

±k_X) drky и ±&₂. Следовательно, направляющие косинусы этих векторов равны ± (/Х/4а), ± (тк/4а) и ± (яЯ/21), где К-длина волны, соответствующая данной моде. Суперпозиция этих вось­ми плоских волн дает стоячую волну, определяемую выражения­ми (4.68).

Кроме того, Шавлов и Таунс высказали предположение о том, что моды открытого резонатора на рис. 4.1 с хорошей точ­ностью описываются теми модами прямоугольного резонатора (см. рис. 2.1), для которых (/, m)<n (резонатор на рис. 4.1 получается из резонатора, изображенного на рис. 2.1, путем удаления боковой поверхности). Доказательством справедли­вости этого предположения является что моды рассматри­ваемого нами резонатора можно представить в виде суперпози­ции плоских волн, распространяющихся под очень малыми

углами к оси z. Следовательно, можно ожидать, что отсутствие боковой поверхности существенно не изменит эти моды. Одна­ко на те моды, у которых значения / и т не малы по сравнению

с п, отсутствие боковой поверхности окажет сильное влияние. После удаления боковых сторон резонатора дифракционные по­тери для этих мод становятся столь большими, что их не имеет

смысла в дальнейшем рассматривать.

Если (I, т) <С п, то резонансные частоты плоскопараллель­ного резонатора можно найти из выражения (4.69) путем раз­ложения его в степенной ряд:

Это выражение можно сравнить с (4,3), которое было получе­но из простых соображений для одномерного случая. Таким

образом, для каждого набора трех значений /, m и п существует вполне определенная мода резонатора с вполне определенной резонансной частотой.

Из выражения (4.70) можно сразу получить разность частот

^{Av„ между двумя модами, имеющими одни и те значения}

и т, но различающиеся на единицу значения п. Таким образом,

A_Vfl = c/2L. (4.71)

Эти две моды отличаются друг от друга лишь распределением поля вдоль оси 2 (т. е. в продольном направлении). Поэтому Av_n нередко называют разностью частот между двумя после­довательными продольными модами. Разность частот между

^{двумя модами, различающимися лишь значениями m на единицу}

(т. е. разность частот между последовательными поперечными

модами)

^{записывается в виде}

Av_w = cZ(m + 1/2) (1/8/га²).

(4.72)

Для типичных значений L величины Д\>_я составляют порядка не­скольких сотен мегагерц, тогда как Av_m (или Av/)—порядка не-

Рис. 4.19. Резонансные частоты плоскопараллельного резонатора.

скольких мегагерц. На рис. 4Л9 показан спектр частот плоско­параллельного резонатора. Следует заметить, что моды с оди­наковыми п, но разными значениями / и т, удовлетворяющими условию /² + т² = const, имеют одну и ту же частоту и поэтому их называют частотно-вырожденными.