Оптическая среда

Падают пучок

Преломленный пучок

_а

_\

Падающий пучок

Отраженный

^"Т

Рис. 4.18. Отраженный и преломленный пучки при падении под углом Брю­стера. а-падение из менее плотной среды; б-падение из более плотной

среды.

раллельную пластинку из данного оптического материала, то отражения от обеих поверхностей пластинки не будет.

4.3. Время жизни фотона и добротность резонатора

В данном разделе первая наша цель — это вычислить ско­рость релаксации энергии в данной (резонансной) моде опти­ческого резонатора. Рассмотрим для простоты плоскопараллель­ный резонатор (рис. 4.1). В этом случае, исходя из приведенно­го выше рассмотрения, каждую моду резонатора можно представить себе как суперпозицию двух волн, распространяю­щихся в противоположных направлениях. Пусть /о-начальная интенсивность одной из этих волн. Если R_t и R₂ - коэффици­енты отражения (по мощности) двух зеркал, а Г,— относитель­ные внутренние потери за проход вследствие дифракции, то интенсивность 1(h) в момент времени t = 2L/c, т. е после од­ного полного прохода резонатора, запишется в виде

I(h) = R_lR₂(l-T_i)4₀. (4.56)

Интенсивность после m полных проходов, т. е. в момент времени

t_m = ЧтЦс, (4.57)

равна

^{/ (О = [RiRA 1 — T}_t^{)T /о. (4.58)}

Если q (t) — полное число фотонов в резонаторе¹) в момент времени t, то, разумеется, оно пропорционально интенсивности, т е. a(t) ~ lit), и в соответствии с (4.58) можно написать сле­дующее выражение:

Ч(р= [R1R2 (I - Tiff q₀, (4.59)

где flo — число фотонов, изначально присутствовавших в резона­торе. Следовательно, число фотонов в момент времени равно

q (*_л) = ехр (- tjxcfto* (4.60)

Сравнение двух последних выражений с (4.57) показывает, что

[ехр (- 2Цсх_с)]^т = [R_XR₂ (1 - Г*)²]? (4.61)

откуда находим

or

^{с с In [RiRzil — Ti)2\ 4 7}

Если теперь предположить, что соотношение (4.60) справедливо не только в момент времени t_m, но в любой момент /(>0), то можно написать

q(t) ^ехр (— tfx_c) q₀; (4.63)

здесь T_t — время жизни фотона, опоеделяемое выражением (4.62). Например, если выбрать R\ =*R₂ = R =0,98 и Г, « О, то из (4.62) получаем х_с = ir/l—In/?]= 49,5/7, где tr— L/C — время одного прохода фотоном резонатора. Из этого примера

видно, что время жизни много больше времени прохода. Если

^!) Под фотонами в резонаторе подразумеваются, естественно, лишь те из них, которые принадлежат тон или иной рассматриваемой моде, а вовсе не тепловые фотоны или фотоны накачки. - Прим. перев.

положить L — 90 см и с ж- Со, где Со — скорость света в ваку- ;

уме, то получим U — 3 не и х_с « 150 не. 'i

При условии, что выражение (4.63) справедливо, временную f зависимость электрического поля в произвольной точке внутри |

или вне резонатора можно представить в виде [см. также вы- *

ражение (4.2) 1 E(t) — Ео ехр [ (—t/2%_c)^Jt Ш]. С помощью \

фурье-преобразования этого выражения нетрудно что

спектр мощности излучения имеет лорендеву форму линии с по­лушириной (полная ширина на половине максимального зна­чения)

д^=1/2ят_с. (4.64)

Следует заметить, что найденный таким образом спектр излуче­ния не совпадает с полученным в предыдущем разделе спект­ром пропускания, форма которого не является лоренцевой; см. выражение (4.27). В частности, полученное здесь выражение для Av_c [см. (4.64)], если в нем вместо х_с подставить выраже­ние (4.62) при Ti ж 0, не совпадает с соответствующим выра­жением в предыдущем разделе [см. (4.36)]. Это расхождение можно понять, если снова вернуться к приближению, которое мы сделали при написании выражения (4,63). Однако расхож­дения между числовыми результатами, полученными из расче­тов по этим формулам, совсем невелики, особенно пди высоких коэффициентах отражения. Например, если #i=/fc = 0,98 и 77 = 0, то из формулы (4.64) с учетом (4.62) мы получим Av_c = 6,4307 • Ю^-3 (e/2L), в то время как из (4.36) Avc = = 6,4308-Ю^-3 (c/2L). Даже при низких коэффициентах отраже­ния Ri=R₂ = 0,5 расхождение незначительно. Действительно, из (4.64) получаем Av_c = 0,221 (c/2L), а из (4.36) имеем Av_c = = 0,225 (c/2L). Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что

форма линии резонатора является лоренцевой с шириной, опре­деляемой выражением (4.64), и что она одна и та же, как для излучения, так и для пропускания.

Рассмотрев время жизни фотона в резонаторе, определим теперь понятие добротности разонатора и найдем связь этой величины с временем жизни фотона. Для любой резонансной системы, и в частности для резонирующей полости, добротность определяют как Q = 2я- (Запасенная энергия)/(Энергия, те­ряемая за один цикл колебания). Таким образом, высокая доб­ротность резонатора означает, что резонансная система имеет малые потери. Поскольку в нашем случае запасенная энергия равна qh\\ а энергия, теряемая в течение одного цикла колеба­ний, равна hv ( — dq/dt) (1/v) ==— hdq/dt, мы имеем

Q = — 2nvql(dqfdt).

(4.65)

При этом из (4.63) находим

Q = 2JIVT,. (4.66)

Это выражение с помощью (4.64) можно преобразовать к более удобному виду:

q = v/Av_c. (4.67)

Таким образом, добротность резонатора равна отношению ре- зонансной частоты v к ширине линии резонатора Av_c. Для кон- кретных значений т< = 150 не и v = 5-10¹⁴ Гц (X = 0,6 мкм) I получаем Q=4,7-10⁸. Следовательно, в течение одного цикла II колебания оптический резонатор теряет небольшую долю энергии!