4.1. Введение

Данная глава посвящена теории пассивных оптических резо­наторов. Под пассивным оптическим резонатором мы понимаем

замкнутую полость, состоящую из отражающих поверхностей и содержащую внутри себя однородную, изотропную и пассивную диэлектрическую среду. Напомним, что мода резонатора была определена в разд. 2.2 как стационарная конфигурация электро­магнитного поля, которая удовлетворяет как уравнениям Мак­свелла, так и граничным условиям. При этом электрическое поле такой конфигурации можно записать в виде

Е (г, f) = E_Q и (г) exp (Ш), (4.1)

где (о/2к — частота моды.

В отличие от резонаторов, применяемых в устройствах СВЧ-диапазона, лазерные резонаторы характеризуются следующими двумя главными особенностями: 1) они, как правило, являются открытыми, т. е. не имеют боковой поверхности, и 2) их раз­меры намного превышают длину волны лазерной генерации. Поскольку длина волны лазера простирается от долей микромет­ра до нескольких десятков микрометров, лазерный резонатор с размерами, сравнимыми с этими длинами волн, имел бы

слишком низкий коэффициент усиления, чтобы могла возник­нуть лазерная генерация. Упомянутые выше две особенности оптического резонатора оказывают значительное влияние на его

характеристики. Например, то, что резонатор является откры­тым, приводит к неизбежным потерям для любой моды резона­тора. Эти потери обусловлены дифракцией электромагнитного поля, вследствие чего часть энергии покидает резонатор. По­этому такие потери называются дифракционными. Таким обра­зом, строго говоря, определение моды в смысле (4.1) нельзя

применить к открытому оптическому резонатору, и в таком

резонаторе не существует истинных мод (т. е. стационарных конфигураций). Однако в дальнейшем мы увидим, что в от­крытых резонаторах в действительности существуют конфигу­рации типа стоячих электромагнитных волн, имеющие очень небольшие потери. Поэтому мы будем определять моду (иногдаее называют квазимодой) как такую конфигурацию электро­магнитного поля, для которой напряженность электрического

^{поля можно написать в виде}

Е (г, i) =£₀u (г) exp [(— tj2x_e) + Ш\. (4.2)

Здесь тс — время жизни фотона в резонаторе (время релакса­ции квадрата амплитуды электрического поля). Из указанного выше второго свойства оптического резонатора следует, как мы увидим в дальнейшем, что в оптическом резонаторе резонансные частоты расположены очень близко друг к другу. Действитель­но, в соответствии с выражением (2.14) число мод резонатора

N, расположенных в пределах полосы лазерной линии шири­ной Avo, равно N = 8nv²VAv₀/c³ = 8л(УД³) (ДХоД), где ДХо = = %¹Avo/c — ширина лазерной линии, выраженная в единицах длины волны. Из приведенного выражения видно, что N про­порционально отношению объема резонатора V к кубу длины волны. Так, например, если v=5-10¹⁴ Гц (частота, соответ­ствующая середине видимого диапазона), V = 1 см³ и Av₀ = l,7-10⁹ Гц [доплеровская ширина линии Ne на длине волны 0,6328 мкм; см. выражение (2.81)], то число мод N 4> 10⁸. Если бы резонатор был закрытым, то все моды имели бы одинаковые потери и такой резонатор в случае его применения в лазере приводил бы к генерации очень большого числа мод. При этом лазер излучал бы в широком спектраль­ном диапазоне и во всех направлениях, что является весьма не­желательным. Эта проблема может быть решена с помощью открытого резонатора. В таком резонаторе лишь очень немно­гие моды, соответствующие суперпозиции распространяющихся почти параллельно оси резонатора волн, будут иметь достаточ­но низкие потери, чтобы стала возможной генерация. Все остальные моды резонатора соответствуют волнам, которые почти полностью затухают после одного прохождения через резонатор. Это главная причина, почему в лазерах применяется открытый резонатор ». Хотя отсутствие боковых поверхностей означает, что может возбуждаться лишь очень небольшое чис­ло мод, все же число генерируемых мод, как мы покажем ниже, может быть значительно больше, чем одна.

*> Применение открытого резонатора диктуется также соображениями

нием импульсной лампы, боковая поверхность препятствовала бы накачке.

б О. Звелто

Наиболее широко применяемые лазерные резонаторы имеют либо плоские, либо сферические зеркала прямоугольной (чаще круглой) формы, расположенные на некотором расстоянии I друг от друга. Величина L обычно составляет от нескольких сантиметров до нескольких десятков сантиметров, а размеры

_{зеркал лежат в пределах от долей сантиметра до нескольких}

сантиметров. Из различных возможных типов резонаторов об­ратим особое внимание на следующие:

а) Плоскопараллельный резонатор (или резонатор Фабри - Перо) (рис. 4.1). Этот резонатор состоит из двух плоских зер- кал/расположенных параллельно друг другу. В первом при- ближении моды такого резонатора моЖно представить себе как суперпозицию двух плоских электромагнитных рас-

^{в направлениях вдоль оси}

_{как схематически показано на рис. 4.1. В рамках}

этого приближения нетрудно получить резонансные частоты, если наложить условие, что длина резонатора L должна быть равна целому числу полуволн, т. е. L = n{%/2), где п-поло-Жительное целое число. Такое условие является необходимым для того, чтобы на обоих зеркалах электрическое поле электро­магнитной стоячей волны было равно нулю. Отсюда следует, что резонансные частоты определяются следующим образом!

v=n(c/2L). (4,3)

Интересно заметить, что такое же самое выражение можно по­лучить, если наложить условие, чтобы набег фазы плоской волны после полного прохода (в прямом и обратном направ­лении) через резонатор был бы равен целому числу, умножен­ному на 2я, т. е. 2kL = 2пя. Это условие нетрудно получить из соображений самосогласованности; Если частота плоской вол­ны равна частоте моды резонатора, то набег фазы волны при

полном проходе резонатора должен быть равен нулю (без уче­та целого, кратного 2л), поскольку только в этом случае бла­годаря последовательным отражениям амплитуды волн в любой

произвольной точке будут складываться в фазе и давать значи­тельное суммарное поле.

б) Концентрический (или сферический) резонатор (рис. 4.2).

Этот резонатор состоит из двух сферических зеркал, имеющих одинаковые радиусы R и расположенных на расстоянии Хдруг от друга таким образом, что центры кривизны зеркал С\ и С₂ совпадают (т. е. L = 2R). На рис. 4.2 показан также геометри­ческий ход лучей в данном резонаторе. В этом случае моды резонатора представляют собой приближенно суперпозицию двух сферических волн, исходящих из точки С и распростра­няющихся в противоположных направлениях. Применяя упо­мянутое выше соображение самосогласованности, мы опять приходим к выражению (4.3) для резонансных частот.

в) Конфокальный резонатор (рис. 4.3). Он состоит из двух сферических зеркал с одинаковыми радиусами кривизны R_f ко- торые расположены на расстоянии L друг от друга таким обра- зом, что фокусы зеркал F\ и F₂ совпадают. Отсюда следует, что центр кривизны С одного зер- кала лежит па поверхности второго зеркала (т. е. L =/?).

С помощью геометрической

оптики изменяя расстояние от двух параллельных лучей до оси резонатора С\С₂, можно нарисовать сколько угодно замкнутых оптических траек­торий типа той, что показана Рис. 4.3. Конфокальный резонатор, на рис. 4.3. Заметим также,

что лучи на рис. 4.3 можно обратить на противоположные. Од­нако такое геометрическое описание не дает и намека на то, какую конфигурацию будет иметь мода, и мы на самом деле увидим, что такая конфигурация не может быть описана ни плоской, ни сферической волной. Поэтому и резонансные ча­стоты тоже нельзя получить непосредственно из соображений

^{геометрической оптики.}

^{г) Резонаторы, состоящие из плоского и сферического зеркал.}

Примеры этих резонаторов показаны на рис. 4.4 (полуконфо­кальный резонатор) и на рис. 4.5 (полусферический резонатор). На этих же рисунках показаны и замкнутые траектории лучей, полученные в соответствии с геометрической оптикой. Заметим, что на рис. 4.4 направление любого луча меняется на противо­положное после каждых четырех проходов.

Часто также используются резонаторы, образованные дву- мя сферическими зеркалами с одинаковыми радиусами кривиз- ны R и с расстоянием L между ними таким, что R < L < 2R (т. е. эти резонаторы занимают промежуточное положение меж- ду конфокальным и концентрическим резонаторами). Кроме того, можно у которого L<R. Для

этих случаев не всегда можно выполнить построение лучей,

при котором лучи повторяют свой путь после одного или не­скольких проходов резонатора.

Все эти резонаторы можно рассматривать как частные при­меры более общего случая резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами, имеющими различные радиусы кри-

(либо положительные, либо отрицательные) и располо­женными на некотором произвольном расстоянии друг от

друга. Эти резонаторы можно подразделить на две категории, а

именно на устойчивые и неустойчивые. Резонатор называется неустойчивым, когда произвольный луч, последова­тельно отражаясь от каждого из двух зеркал, удаляется на неограниченно большое расстояние от оси резона­тора. Очевидный пример неустойчи­вого резонатора приведен на рис. 4.6. Наоборот, резонатор, в котором луч

остается в пределах ограниченной об­ласти, называется устойчивым.

В настоящей главе мы займемся главным образом вычисле­нием модовых конфигураций и соответствующих резонансных

_{частот, а также дифракционных потерь для наиболее широко}

приме'няемых резонаторов.