3.3.3. Возбуждение посредством (около)резонансной

передачи энергии [13, 21]

В этом случае возбуждение можно также ветствующим сечением столкновения став:

_{(ЛУ/Л)ав = NaNm}

b^vvab>

_{описать соот-}

(3.45)

где (dN/dt)ab—число переходов в единице объема за единицу $

времени, обусловленных процессом, определяемым выражением

(3,28), N'a — населенность верхнего состояния частиц А, а Nb — населенность нижнего состояния частиц В, Для данной температуры Т газа величину vgae необходимо усреднить по распределению скоростей рассматриваемых частиц. ,

Чтобы глубже понять механизмы, участвующие в возбуж- i

дении посредством передачи энергии, рассмотрим несколько вопросов, связанных с квантовомеханическим вычислением j

огдв. В процессе переноса энергии, который в действительности j

происходит следующим образом: когда частица А приближает­ся к частице В, между ними происходит взаимодействие, кото­рое может быть описано потенциальной энергией взаимодей­ствия. Эта энергия может быть либо энергией притяжения (см.

рис. 2.23), либо энергией отталкивания (см., например,

рис. 6.25) в зависимости от того, стремятся ли две частицы сблизиться или оттолкнуться друг от Друга. Рассмотрим эту двухчастичную систему как целое. Потенциал взаимодействия обозначим как U (г*, R/), где Г; и R/ координаты соответственно

электронов и ядер двухчастичной системы. Заметим, что, когда

двумя сталкивающимися частицами являются атомы, един- ственной интересующей нас ядерной координатой является ; межъядерное расстояние R. Однако если частицы — это моле- кулы, то потенциал взаимодействия будет также зависеть от взаимной ориентации двух молекул. Чтобы упростить обсужде- ние данного вопроса» ограничимся рассмотрением случая стал- | кивающихся атомов. Во время столкновения межъядерное рас- стояние R будет меняться во времени [т. е. R~R{t)]_f что приведет к зависящему от времени потенциалу U(fi, R(t)) = = U (п, t). Для атомов, которые отталкиваются друг от друга, функция U(t), по-видимому, будет иметь общий вид, показан- ный на рис. 3.26, а порядок величины времени

АТС можно найти из выражения (2.61). Поскольку мы рассмат­риваем двухатомную систему как целое, будем считать, что волновая функция ф начального состояния (т. е. до столкнове­ния) соответствует ситуации, когда атом А находится в возбуж­денном состоянии, а атом В — в основном состоянии. Иными

^{словами, % = ф}_А^И|>_В) ^{где ^>}_А^{. и ф}_в ^{— волновые функции двух}

изолированных атомов. Аналогичным образом можно записать

волновую функцию конечного состояния (после

ния) в виде *ф_Аф_в*. Будем следовать обозначениям для общей

схемы переноса энергии на рис. 3.17, Тогда энергия начального состояния Е_х равна £_А, а энергия конечного состояния Е% равна Ев, где £_А и Ев - энергии возбужденных состояний частиц А

и В соответственно. Схема энергетических уровней двухатомной системы показана на рис. 3.27. Во время столкновения под дей- ствием возмущения, вызванного от времени

циалом U (г,-, t), система будет совершать переход из состояния •ф! в состояние f₂. На языке квантовой механики это означает, что на систему будет действовать зависящий от времени га­мильтониан (г,-, /), который можно получить из потенциала Щти t) с помощью стандартных выкладок. Таким образом, мы видим, что, как и в случае поглощения фотона (разд. 2.3.1),

г
f '	\ Е

₁

Рис. 3.27. Энергетические уровни двухатомной молекулы.

Рис. 3.26. Зависимость потенциа­ла взаимодействия двух сталки­вающихся частиц от времени.

мы рассматриваем здесь именно случай двухуровневой систе­мы (с энергиями Е_х и £₂), на которую действует зависящий от времени гамильтониан Щт_и t). Однако в этом случае временная зависимость гамильтониана 3@(t), будучи такой же, как и у по­тенциала U (t), имеет форму импульса (см. рис. 3.26), в то время как в случае поглощения фотона временная зависимость имела форму синусоиды. Вычисление скорости перехода и тем самым сечения ст,уз производится таким же способом, как и для поглощения фотона (нестационарная теория возмущений), за

исключением того, что теперь гамильтониан возмущения имеет

импульсную зависимость от времени. Окончательное выраже­ние для сечения перехода став можно записать в виде

-f оо

СТАВ

^{J Я (/)cxp(/»i jf) л}

_(3.46)

— с»

где

^Н _{W = Z S *а i}^r_{i) Я {}^r_{v О Ч>, (»*,) drt}

(3.47)

— матричный элемент перехода между начальным и конечным состояниями системы. Сумма в выражении (3.47) вычисляется по всем координатам электронов двухатомной системы, Величи­на <i)i 2 в (3.46) дается выражением ш_{3 2} = A£/ft, где АЕ— энер­гия перехода (см. рис. 3.27).

Выражение (3.46) представляет собой искомый результат и позволяет сделать несколько замечаний о физической сущ­ности рассматриваемых процессов. Вначале заметим, что вели­чина став пропорциональна спектральной мощности матричного элемента H(t) на частоте А£/Л. Так как временная зависимость Я (/) совпадает с U(t) (т. е. с кривой на рис. 3.26), то отсюда следует, что Олв определяется фурье-образом (со) потенциала взаимодействия U(I) на частоте перехода coi Это означает, что переход вызывается спектральной компонентой £/(ш) на частоте о = со,₂, - результат, физическую сущность которого нетрудно понять. Имея этот результат, можно также предска­зать ожидаемую зависимость став от энергетического зазора ЛЯ. Таким образом, замечая, что фурье-спектр импульса, показан­ного на рис. 3.26, имеет максимум на частоте v — (й/2я = О с шириной полосы порядка 1/Дт_с, можно ожидать больших зна­чении став лишь в том случае, когда

А£ < А/Дт, = А£_рез; (3,48)

здесь — ширина резонанса, в пределах которого может

происходить обмен энергией. Заметим, что в соответствии с вы­ражениями (2.61) и (2.62) можно написать следующее выра­жение:

h 8kT /2

^A5_P^e₃^{=vv"Sr; • '(3.49)}

откуда мы видим, что величина АЕр_ез пропорциональна квад­ратному корню из тепловой энергии kT. Это расходится с тем результатом, который можно было бы получить с помощью наивного рассмотрения процесса, когда с учетом того, что про­цесс обусловливается атомами, движущимися с тепловыми скоростями, следовало бы ожидать Д£_рея » кТ. В действитель­ности же, как показано в приведенном выше физическом опи­сании, возбуждение перехода обусловлено фурье-образом по­тенциала взаимодействия, а не тепловой энергией. В качестве

примера рассмотрим атомы неона, для которых мы имеем Arc ж 10~¹³ с [см. (2.63)], и из выражения (3.49) находим Д£_рез ^ 0,006 эВ, что существенно меньше» чем кТ (я^0,025 эВ).

Заметим, наконец, что поскольку процесс передачи энергии имеет резкий пик при Д£ = 0, сечение одв должно быть очень

большим в случае, когда энергетический зазор между двумя

гл.

_к

Задачи 157

атомами существенно меньше, чем Д^рез- Действительно, в этом случае сечение может достигать значений вплоть до 10~¹⁴ см², что считается чем-то необычным. Поэтому можно заключить, что околорезонансные столкновения обеспечивают очень удоб­ный путь селективного заселения данного уровня, особенно в том случае, когда возбужденное состояние частиц А метаста-

бильно.

Задачи

1. Кристаллический стержень из Nd : YAG диаметром 6,3 мм накачивается лампой с внутренним диаметром 4 мм в эллиптическом осветителе, большая ось которого равна 40 мм, а эксцентриситет равен 0,3. Вычислите эффектив­ность передачи накачки, предположив, что средняя отражательная способ­ность покрытия осветителя равна 0,95 и что лампа непрозрачна для соб­ственного излучения.

2. Стержень из Nd : YAG диаметром 6,3 мм накачивается спиральной им­пульсной лампой диаметром D_L - 2 см. Вычислите эффективность передачи накачки, предполагая, что t\_a = 0,2, г\ь = 0,5 и г\_ре = 0,1.

3. С помощью рис. 3.14 вычислите <fi> для каждого значения aR и пока­жите, что в хорошем приближении </i> ft? ехр[— (aR)].

4. Лампа с внутренним диаметром 4 мм расположена вдоль фокальной линии эллиптического осветителя с большой осью длиной 34 мм и малой осью 31,9 мм. Вычислите размеры изображения лампы на второй фокаль­ной линии. Что произойдет, если вдоль этой фокальной линии поместить стержень с полированной боковой поверхностью? ^;

5. Если свет накачки, падая на лазерный стержень, распространяется вну­три него в радиальном то покажете» что в этом случае эффек­тивность поглощения можно записать в виде

£ i к

где R— радиус стержня, а— коэффициент поглощения, a — спектраль­ная интенсивность падающего иа стержень света. Учитывая результат, полу­ченный в задаче 3.3, покажите, что если 1 — ехр[—(2ai?)l = {ехр(aR) — -exp[-(a«)]}exp[-(a*)] *е 2aR ехр [-(а*)], то предыдущее выражение

ДЛЯ Ца сводится к (3.22).

3.6. Используя выражение (3.2), с помощью (3.22) и (3.24) покажите, что

% ^в Ъ\ $ 2 (%1%_р) v* (f,) g_K dX.

7. Оптимальная напряженность электрического поля, необходимая для ра­боты импульсного азотного лазера в УФ-диапазоне (X = 337,1 нм), прибли­зительно равна 10 кВ/см при типичном рабочем давлении р & 30 мм рт. ст. (для сечения трубки 5X10 мм). Типичная длина азотного лазера порядка 1 м. Какую из двух схем накачки, представленных на рис. 3.16, вы исполь­зовали бы в этом лазере?

8. Предполагая, что электроны подчиняются распределению Максвелла — Больцмана, вычислите электронную температуру (в эВ) газа электронов со средней кинетической энергией 10 эВ.

t

in

К

1

158 3. Процессы накачки

3,9. Предположим, что электрон массой т сталкивается упруго с атомом массой И. Допустим также, что до столкновения атом находился в состоя­нии покоя, а рассеяние электрона при столкновении является изотропным.

Покажите, что в результате столкновения электрон теряет часть своей энер­гии, равную 2тМ.

ЗЛО. Предположим, что в (3.36) доля теряемой энергии 8 определяется только упругим рассеянием. Покажите, что при этом v_mn/v_r « [*№'*, где т.-масса электрона, а М - масса атома. Вычисли отношение удрейф/^т для атома неона.