3.3.2.2. Распределение энергии электронов

Подробно обсудив физические явления, связанные с опреде­лением сечения возбуждения электронным ударом, рассмотрим теперь распределение f(E) энергии электронов.

Если предположить, что распределение энергии является максвелловским, то применимо соотношение (3.29) и единствен- ная величина, которая должна быть известна, — это электрон- ная температура Т_е. Температуру Т_е можно связать с прикла- дываемым электрическим полем &. Для этого сделаем упро- щающее предположение, а будем что при каждом столкновении теряется некоторая доля б кинетической энергии электрона. Если v_T средняя тепловая скорость электрона, то средняя кинетическая энергия равна mv\/2. Частота столкно- вений равна vjl_f где / — средняя длина свободного пробега электрона. Следовательно, при столкновении электрон теряет мощность b{^v_T/l) (я^?/2); эта мощность должна быть равна мощности, подводимой электрическим полем которая в свою очередь равна Таким образом, можно написать урав- нение

е^одрейф — б v_T mv²_T/2), (3.36)

которое дает одно из необходимых соотношений между двумя неизвестными величинами «дрейф и vr. Следовательно, нам нуж­но еще одно уравнение. Fro можно получить, рассматривая сво­бодное движение электрона между двумя последовательными

столкновениями в точках 1 и 2 на рис. 3.21. Предположим, что после каждого столкновения электрон рассеивается в случай-иых направлениях и, следовательно, теряет преимущественное

направление скорости дрейфа. Таким образом, предполагается, что в точке 1 электрон имеет лишь тепловую скорость VT, на­правление которой с приложенным электрическим полем состав­ляет угол В. За время свободного пролета между точками 1 и 2 электрон будет ускоряться электрическим полем. Импульс, со­общаемый этим полем электрону, равен e&l/vj, где / — расстоя­ние между точками 1 и 2 (среднее значение этой величины при­мем равным средней длине свободного пробега электрона).

Vдрейф

/

_/

¹

Рис. 3,21. Вычисление скорости дрейфа, обусловленной ускорением электрона внешним электрическим полем между двумя столкновениями.

Этот импульс можно приравнять изменению количества движе­ния электрона, т. е. величине та_дреяф. Таким образом мы полу­чим следующее выражение:

eW = ту-гУдрейф, (З.Зба)

которое вместе с (3.36) образует систему двух уравнений для двух неизвестных VT и и_дрепф. Из этих уравнений имеем:

v?_r={2/dyi²(e&l/m), (3.37)

у_дреВф = (6/2) '/« (еШ/т) ■/*. (3.37а)

Поскольку электронная температура определяется выражением kT_e—mv\jb [см. (3.30)], из (3.37) получаем искомое выраже­ние для Т_е:

^Т_е ^{= [(2/6)1/2 (e/3fe)] (#/). (3.38)}

Поскольку средняя длина свободного пробега / обратно пропор­циональна давлению газа р, из (3.38) следует, что для данного газа электронная температура Т_е определяется лишь отноше­нием g/p. Это отношение представляет собой фундаментальную величину, которая определяет установление данной электронной

температуры в системе и которую используют нередко на прак­тике в качестве полезного параметра при определении условий разряда. Для конкретной смеси газов обычно существует неко­торое значение отношения 8/р, при котором получается макси­мальная скорость накачки. Слишком малое значение S'/p при­водит к очень низкой электронной температуре Т_е, и лазерные уровни накачки не могут эффективно возбуждаться. Наоборот, при слишком большом значении &"/р (а следовательно, и Т_е)

^{возбуждаются более высокие уровни (которые не могут сильно}

взаимодействовать с лазерным переходом) и возникает избы­точная ионизация (которая может вызывать неустойчивый раз­ряд, т. е. тлеющий разряд может перейти в дуговой) газовой смеси.

Представленный выше расчет является довольно грубым, поскольку он основан на предположении о том, что электрон теряет при столкновении часть своей энергии, равную б. Хотя данное условие выполняется при упругих столкновениях с ато­мами (в этом случае 6 = 2т/М), для неупругих столкновений

это неочевидно [электрон-электронные столкновения не играют никакой роли в уравнении энергетического баланса (3.36), по­скольку они просто перераспределяют скорости электронов без изменения их средней энергии]. Следует заметить, что упругие столкновения в действительности происходят намного чаще, чем неупругие (сечение упругих столкновений обычно много больше сечения неупругих столкновений). Однако доля энергии, теряе­мая при упругих столкновениях, очень мала. В самом деле, если бы упругие столкновения были основным механизмом охлажде­ния электронов, то основная часть энергии разряда тратилась бы на нагрев атомов, а не на их возбуждение, и разряд не был бы столь эффективным для накачки лазера. Другая причина, почему наши вычисления нельзя считать адекватными, состоит в предположении о максвелловском характере распределения, что не выполняется на практике [14]. Тем не менее в лазерах на нейтральных атомах и в ионных газовых лазерах отклонение от максвелловского распределения невелико, и в этих случаях в расчетах нередко используют максвелловское распределение. Однако в молекулярных лазерах, генерирующих на колебатель­ных переходах, газ ионизован очень слабо и средняя энергия электронов мала f£« 1 эВ, поскольку необходимо возбудить только колебательные состояния) по сравнению с энергией (10—30 эВ), необходимой для лазеров на нейтральных атомах и ионных газовых лазеров. Соответственно следует ожидать, что приближение максвелловского распределения не будет адекватным для молекулярных лазеров. В этом случае, чтобы получить распределение энергии электронов f(E), расчет необ­ходимо провести ab initio (с самого начала), С этой целью для электронов записывают кинетическое уравнение (уравнение i Больцмана), которое требует знания всех возможных процессов столкновения электронов, приводящих к возбуждению (или снятию возбуждения) колебательных или электронных уровней во всех компонентах газовой смеси в разряде. Таким образом,

Рис. 3.22. Сравнение распределения энергии электронов /(£) для газовой смеси в отношении С0₂: N₂: Не = 1:1:8 (из работы [15]) с распределением Максвелла при той же средней энергии. На этом же рисунке представлена кривая для сечения возбуждения молекул азота электронным ударом вплоть до колебательного уровня с v - 5 (из работы [221). Приведенные кривые отражают скорее физическую картину явлении, чем конкретные числовые значения, полученные в упомянутых выше работах.

расчет становится совершенно запутанным, а в некоторых слу- * чаях и неосуществимым из-за отсутствия необходимых данных о сечениях столкновений электронов. Подробные расчеты на ЭВМ были сделаны только для играющих особо важную роль газовых смесей, таких, как смесь СО2: N2: Не, используемая в СОг-лазерах высокой мощности [15, 16]. В качестве примера на рис. 3.22 показано вычисленное распределение f(E) для смеси газов СО2: N2: Не = 1:1:8 при условии, что отношение Ж/рпорядка 8 В• см^-1 • (мм рт. ст.)^-1. На том же рисунке приве- дено и макевелловское распределение /'(£), соответствующее той же средней энергии электронов. Заметим, что в этом случае f(E) существенно от макевелловского распределе-

ния. Чтобы лучше понять этот результат, на том же рисунке по­казано сечение возбуждения электронным ударом для молекулы N2 вплоть до колебательного уровня с v = 5. В С0₂-лазере элек­трическая накачка осуществляется главным образом возбужде­

нием этих уровней с последующей передачей энергии молекуле СО2. Из рисунка видно, что проседание кривой f(E) по сравне­нию с максвелловой кривой при Е > 2 эВ обусловлено очень большим значением 0 (~ 10~¹⁶ см²). Действительно, очень не­многие электроны, ускоряемые электрическим полем разряда, переходят барьер Е — 2 эВ, поскольку они немедленно примут участие в возбуждении молекул N₂. Поэтому электроны накап­ливаются в области энергии меньше 2 эВ.

О

30

5 10 75 20 25 Электронна?, энергия, эВ

Рис. 3.23. Распределение энергий электронов и сечений поглощения на пере­ходах 2^lS и 2³S в гелии (кривые для сечений заимствованы из работы [13]).

Из сказанного ясно, что в этом случае понятие электронной температуры теряет свой смысл. Однако можно все же опреде­лить среднюю тепловую скорость, среднюю энергию электронов и среднюю скорость дрейфа. Используя уравнения сохранения энергии и импульса, можно и в этом случае показать, что энер­гия электронов и скорость дрейфа (для рассматриваемой газо­вой смеси) зависят лишь от отношения <§/р, что мы и получили из предыдущих грубых рассуждений.

Для сравнения с результатами рис. 3.22 на рис. 3.23 пред­ставлены распределение энергии и сечения поглощения, которые соответствуют разряду в гелии при условиях работы Не — Ne-лазера. В этом случае предполагалось наличие максвелловского распределения со средней энергией электронов 10 эВ. Пред­ставленные на рисунке сечения соответствуют возбуждению электронным ударом на уровни 2^lS и 2³5 гелия (которые дей­ствуют как уровни накачки неона, опять-таки путем передачи энергии). Заметим, что эти сечения примерно на два порядка меньше сечений для молекулы N2. Такой результат объясняет, почему максвелловское распределение является весьма хоро­шим приближением в данном случае. Обратите внимание также на аналогию, которую можно установить между рис. 3.5, 3.22 и 3.23. Действительно, спектр излучения лампы на рис. 3.5 можно считать эквивалентным распределению энергий электро­нов на рис. 3.22 и 3.23.

3.3.2.3. Пространственное распределение скорости накачки .

i

Прежде чем приступить к расчету этого распределения» за- i метим, что плотность электронов N* в выражении для IF⁷, , [см. (3.35.)] может быть представлена как функция плотности тока / и скорости дрейфа о_Др_8йф следующим образом:

ЛГ_в = '/*0дрейф- (3-39) %

В тлеющем разряде постоянное электрическое поле (см.

рис. 3.19), а следовательно, и скорость дрейфа [см. выраже- _t

ние (3.37а)] не зависят от плотности тока /. Отсюда следует,

что пространственная зависимость плотности электронов N_c 4

[см. (3.39)], а значит, и скорости накачки W_p [см. (3.35) ] та- *

кие же, как и для плотности тока /.

В случае когда газ заключен в цилиндрическую трубку и ток разряда протекает вдоль этой трубки, радиальную зависимость плотности тока / можно найти аналитически [17, 18]. Как для лазеров на нейтральных атомах, так и для ионных газовых ла- зеров можно считать, что электрон-ионная рекомбинация проис- ходит только на стенках. Безызлучательная ион-электронная t рекомбинация (А/ + е) действительно не может происходить в объеме разряда, поскольку в таком процессе невозможно со- I хранение как полного момента, так и энергии частиц. Напри- ! мер, в лобовых столкновениях скорость и рекомбинировавшего атома дается простым выражением (полученным из условия $ сохранения импульса); v*= (m_lv_l-tm₂V2) / (m_l^m₂)_i где пи (i=l_t ] 2) — массы, a Vt— скорости электрона и иона до столкнове- ³ ния. Для данных значений V\ и v₂ скорость v определяется од- нозначно, Следовательно, кинетическая энергия (т_} + m2)v²/2 также определена и в общем случае не равна сумме исходной кинетической энергии частиц и энергии рекомбинации. Однако излучательная ион-электронная рекомбинация является мало- вероятным поскольку для осуществления этого про- цесса избыточная энергия рекомбинации должна быть удалена в течение короткого времени столкновения. Трехчастичный же процесс e-vAi+M_y в котором избыточная энергия передается третьему партнеру М, также маловероятен при используемых ¹

давлениях газа (несколько мм рт. ст.).

Ион-электронная рекомбинация на стенках может осущест­вляться двумя различными механизмами в зависимости от дав- \

ления газа р и радиуса трубки Я. Если средняя длина свободного пробега иона много короче R, то рекомбинация осуществляется посредством амбиполярной диффузии к стенкам сосуда. Это оз­начает, что как электроны, так и ионы диффундируют к стен­кам. Если бы одна из заряженных частиц, скажем, электрон, благодаря своей более высокой подвижности диффундировала с более высокой скоростью, то в радиальном направлении воз­никло бы сильное электрическое поле. При этом такое радиаль­ное поле уменьшило бы ради­альную диффузию электронов и увеличило бы радиальную диффузию ионов. Аналитиче­ское описание амбиполярной

диффузии можно получить на основе теории Шотки для по­ложительного столба (в этой теории предполагается макс-велловское распределение ско­ростей) [17, 18]. Согласно этой теории, радиальное распреде­ление плотности электронов

в разряде изменяется по за­кону /о (2,4 r/R), где/о-функ-

ция Бесселя нулевого по­рядка. Эта функция построена на рис. 3,24. Заметим, что на стенках трубки плотность элек­тронов уменьшается до нуля.

^{Эксперименты показали, что}

теория Шотки справедлива для лазеров на инертных га­зах, в том числе на нейтральных атомах, а также для ионных лазеров на инертных газах высокого давления (которые рабо­тают в импульсном режиме). Интересно также заметить, что радиальная зависимость электронной плотности в виде функции Бесселя была использована для точного вычисления радиаль­ного распределения инверсии населенностей в ССЬ-лазерс [19], где, как мы видели, предположение о максвелловском распре­делении выполняется плохо.

Когда средняя длина свободного пробега иона становится сравнимой с радиусом трубки (что наблюдается в ионных газо­вых лазерах с относительно низким давлением), электроны и

^{ионы достигают стенок не вследствие диффузии, а благодаря}

свободному пролету до них. В этом случае необходимо пользо­ваться моделью «свободного падения» Тонкса — Ленгмюра для плазменного разряда [20]. Соответствующее радиальное распре­деление плотности электронов в разряде показано в виде кривой Б на рис. 3.24. Заметим, что эта кривая, хотя и не описывается функцией Бесселя, все же имеет колоколообразную форму.

В случае когда газ возбуждается током, текущим поперек оси резонатора (например, если оба электрода расположены вдоль оси резонатора; см. рис. 3.16,б), надежное определение

^{пространственного распределения скорости накачки становится}

затруднительным. Действительно, на распределение влияют форма электродов, тип и геометрическое расположение иногда используемых дополнительных источников ионизации, а также характеристики потока газовой смеси в разрядной трубке. Экс­периментальные измерения результирующей инверсии населен-ностей свидетельствуют о довольно неоднородном и асиммет­ричном распределении накачки при таком виде разряда (обычно наблюдается 50%-ное изменение скорости накачки от центра разрядного канала к периферии).